問題文全文(内容文)：
各項が正である数列$\{a_n\}$を次の$(ⅰ)(ⅱ)$によって定める。
　$(ⅰ)a_1=1$
　$(ⅱ)$座標平面上の点$(0,-a_n)$から放物線の一部$C:y=x^2(x \geqq 0)$に接線$l_n$を引き接点を$A_n$とする。
点$A_n$において$l_n$と直交する直線$m_n$を引き、$y$軸との交点を$(0,3a_{n+1})$とする。

次の各問いに答えよ。
（1）$a_n$と$a_{n+1}$との関係式を求めよ。
（2）$a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{11}}$　数列$\left\{a_n\right\}$を次の条件によって定める。
$a_1=2$,　　$a_{n+1}=1+\frac{1}{\displaystyle1-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$ (n=1,2,3,$\cdots$)
(1) $a_5$を求めよ。
(2) $a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ。
(3) 無限級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_k}$が収束することを示し、その和を求めよ。

2017千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$A,B$ 2人でサイコロを投げる。
1回目は$A$
$1,2,3\rightarrow$同じ人が投げる
$4,5\rightarrow$別の人が投げる
$6\rightarrow$勝ち、終了

（1）
$n$回目に$A$が投げる確率$a_{n}$は？

（2）
ちょうど$n$回目で$A$が勝つ確率は？

（3）
$n$回以内に$A$が勝つ確率は？

出典：一橋大学　過去問

問題文全文(内容文)：
tを実数とする。次の条件(★)を満たす$\triangle ABC$を考える。
(★)$AC=t,\ BC=1$を満たし、$\angle BAC$の2等分線と辺BCの交点をDとおくと、
$\cos\angle DAC=\frac{\sqrt3}{3}$である。
(1)$\cos\angle DAC=\frac{\boxed{カ}}{\boxed{キ}}$である。
(2)tの取りうる範囲を$t_1\lt t \lt t_2$とするとき、$t_1=\boxed{あ},t_2=\boxed{い}$である。

$\boxed{あ},\ \boxed{い}$の選択肢
$(\textrm{a})0\ \ \ (\textrm{b})\frac{1}{3}\ \ \ (\textrm{c})\frac{1}{2}\ \ \ (\textrm{d})\frac{\sqrt3}{3}\ \ \ (\textrm{e})\frac{2}{3}$
$ (\textrm{f})1\ \ \ (\textrm{g})\frac{2\sqrt3}{2}\ \ \ (\textrm{h})\sqrt3\ \ \ (\textrm{i})2\ \ \ (\textrm{j})3$

(3)辺ABの長さをtの式で表すと$AB=\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}t+$
$\sqrt{1+\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}t^2}$である。

(4)$\triangle ABC$の面積は$t=\frac{\sqrt{\boxed{シ}}}{\boxed{ス}}$
で最大値$\frac{\sqrt{\boxed{セ}}}{\boxed{ソ}}$をとる。

(5)$t_1,t_2$を(2)で定めた値とする。
$t_1 \lt t \lt t_2$の範囲で、xyz-座標空間内の平面z=t上に、条件(★)を満たす
$\triangle ABC$が、$B(0,0,t),C(0,1,t)$を満たし、Aのx座標が正であるように
おかれている。まｇた、$B_1(0,0,t_1),C_1(0,1,t_1),B_2(0,0,t_2),C_2(0,1,t_2)$と
おく。
$\triangle ABC$を$t_1 \lt t \lt t_2$の範囲で動かしたときに通過してできる図形に線分$B_1C_1$、
線分$B_2C_2$を付け加えた立体の体積は$\frac{\sqrt{\boxed{タ}}}{\boxed{チ}}$である。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$　$i$を虚数単位とする。複素数zの絶対値を$|z|$と表す。
$w=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}$ とし、$\alpha=w+w^4$　とする。

(1)$\alpha^2=\boxed{\ \ お\ \ }$である。これより、$\alpha=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\boxed{\ \ チ\ \ }}$である。
(2)複素数平面上の2点$\frac{i}{2}$,-1間の距離は$\boxed{\ \ か\ \ }$である。
(3)複素数平面上の2点$w^2,$ -1間の距離は$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
(4)$\frac{w^2+1}{w+1}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$　(ただし、$r \gt 0,\ 0 \leqq \theta \lt 2\pi$)
とおくとき、$r=\boxed{\ \ く\ \ }$であり、$\theta=\frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}\pi$である。
(5)複素数平面上で、-1を中心都市$w^2$を通る円上をzが動くとする。
$x=\frac{1}{z}$とするとき、$x$は$|1+x|=\boxed{\ \ け\ \ }|x|$を満たし、$\boxed{\ \ こ\ \ }$を
中心とする半径$\boxed{\ \ さ\ \ }$の円を描く。

$\boxed{\ \ お\ \ }～\ \boxed{\ \ さ\ \ }$の選択肢
$(\textrm{a})1　　(\textrm{b})2　　(\textrm{c})\alpha　　(\textrm{d})2\alpha$
$(\textrm{e})\frac{\alpha}{2}+1　　(\textrm{f})\frac{\alpha}{2}-1　　(\textrm{g})-\frac{\alpha}{2}+1　　(\textrm{h})-\frac{\alpha}{2}-1$
$(\textrm{i})\alpha+1　　(\textrm{j})\alpha-1　　(\textrm{k})-\alpha+1　　(\textrm{l})-\alpha-1$
$(\textrm{m})\alpha+\frac{1}{2}　　(\textrm{n})\alpha-\frac{1}{2}　　(\textrm{o})-\alpha+\frac{1}{2}　　(\textrm{p})-\alpha-\frac{1}{2}$

2021上智大学理工学部過去問