大学入試問題#664「三角関数or複素平面」 藤田医科大学(2023) 2024年入学 - 質問解決D.B.(データベース)

大学入試問題#664「三角関数or複素平面」 藤田医科大学(2023) 2024年入学

問題文全文(内容文):
$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \cos\displaystyle \frac{2k}{9}\pi$の値を求めよ

出典:2023年藤田医科大学 入試問題
単元: #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学
指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \cos\displaystyle \frac{2k}{9}\pi$の値を求めよ

出典:2023年藤田医科大学 入試問題
投稿日:2023.11.30

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問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{1}}$ $k$を実数とする。座標平面において方程式
$x^2+y^2+x+(2k+1)y+k^2+1=0$
の表す図形$C$を考える。次の問いに答えよ。
(1)$C$が円であるような$k$の値の範囲を求めよ。ただし、点も円とみなすものとする。
(2)$k$が変化するとき、$C$が通る点($x,y$)の存在領域を座標平面上に図示せよ。
(3)(2)で求めた領域の境界線と(1)で求めた円が共有点をもたないような、$k$の値の
範囲を求めよ。

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問題文全文(内容文):
$0 \lt t \lt 2\pi$とする
$z=\displaystyle \frac{1+\cos\ t+i\ \sin\ t}{1-\cos\ t-i\ \sin\ t}$

(1)$0 \lt t \lt \pi$における$z$の偏角を弧度法で表せ
(2)$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} |z|dt$を求めよ。

出典:2003年東京理科大学理学部 入試問題
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問題文全文(内容文):
(4)f(x)はxの2次関数である。$f(x)$は$x=-2$で極値をとり、$\int_{-3}^0f(x)dx=0$
を満たす。またxy平面上において、f(x)のグラフ$y=f(x)$はx軸と異なる2点で交わり、
$y=f(x)$とx軸で囲まれる部分の面積は$\frac{8}{3}$である。このとき$f(x)=\boxed{\ \ キ\ \ }$である。

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$n$を1以上の整数とする。

(1)$n^2+1$と$5n^2+9$の最大公約数$d_n$を求めよ。
(2)$(n^2+1)(5n^2+9)$は整数の2乗にならないことを示せ。

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