福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第4問〜部分積分と定積分で表された関数 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第4問〜部分積分と定積分で表された関数

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ x \gt 0を定義域とする関数f(x)が次の等式\\
f(x)=\int_1^e\log(xt) f(t)dt+x\\
を満たすとき、以下の問いに答えよ。\hspace{30pt}\\
(1)\int_1^e\log x dx\ を求めよ。\hspace{60pt}\\
(2)\int_1^e(\log x)^2 dx\ を求めよ。\hspace{50pt}\\
(3)\int_1^ex\log x dx\ を求めよ。\hspace{53pt}\\
\\
(4)f(x)を求めよ。\hspace{93pt}
\end{eqnarray}
単元: #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ x \gt 0を定義域とする関数f(x)が次の等式\\
f(x)=\int_1^e\log(xt) f(t)dt+x\\
を満たすとき、以下の問いに答えよ。\hspace{30pt}\\
(1)\int_1^e\log x dx\ を求めよ。\hspace{60pt}\\
(2)\int_1^e(\log x)^2 dx\ を求めよ。\hspace{50pt}\\
(3)\int_1^ex\log x dx\ を求めよ。\hspace{53pt}\\
\\
(4)f(x)を求めよ。\hspace{93pt}
\end{eqnarray}
投稿日:2022.09.29

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福田の数学〜九州大学2022年理系第5問〜媒介変数表示のグラフの対称性とグラフの追跡

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単元: #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。\\
x=5\cos t+\cos5t, y=5\sin t-\sin5t (-\pi \leqq t \lt \pi)\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)区間0 \lt t \lt \frac{\pi}{6}において、\frac{dx}{dt} \lt 0, \frac{dy}{dx} \lt 0であることを示せ。\\
(2)曲線Cの0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{6}の部分、x軸、直線y=\frac{1}{\sqrt3}xで囲まれた\\
図形の面積を求めよ。\\
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を\\
原点を中心として反時計回りに\frac{\pi}{3}だけ回転させた点はC上\\
にあることを示せ。\\
(4)曲線Cの概形を図示せよ。
\end{eqnarray}
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問題文全文(内容文):
【鳥取大学 2023】
負でない整数$n=0,1,2,・・・$と正の実数$x>0$に対し、
$\displaystyle I_n=\frac{1}{n!}\int_0^xt^ne^{-t}dt$
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) $I_0,I_1$を求めよ。
(2) $n=1,2,3,・・・$に対し、$I_n$と$I_{n-1}$の関係式を求めよ。
(3) $I_n(n=0,1,2,・・・)$を求めよ。
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【高校数学】毎日積分35日目【バウムクーヘン積分】【毎日17時投稿】

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単元: #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
今回は共通テスト直後ということで、バウムクーヘン積分について解説!
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問題文全文(内容文):
【弘前大学 2023】
$\displaystyle \int_\frac{-π}{4}^\frac{π}{3}\frac{x}{cos^2x}dx$
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福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第3問〜複素数平面上の点の軌跡

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 複素数\alpha=2+i, \beta=-\frac{1}{2}+iに対応する複素数平面上の点をA(\alpha),\ B(\beta)とする。\\
このとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)複素数平面上の点C(\alpha^2),\ D(\beta^2)と原点Oの3点は一直線上にあることを示せ。\\
\\
(2)点P(z)が直線AB上を動くとき、z^2の実部をx、虚部をyとして、点Q(z^2)の軌跡\\
をx,yの方程式で表せ。\\
\\
(3)点P(z)が三角形OABの周および内部にあるとき、点Q(z^2)全体のなす図形をK\\
とする。Kを複素数平面上に図示せよ。\\
\\
(4)(3)の図形Kの面積を求めよ。
\end{eqnarray}
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