問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 曲線 x=g(y)のy≧0の部分とx軸上の線分0≦x≦g(0)のなす曲線をCとし、Cをy軸のまわりに1回転してできる容器をVとする。ただし、g(y)はy≧0で定義された正の関数とする。Vに毎秒一定量vの水を注ぐとする。t秒後のV内の水位をy=h(t)とするとき、以下の問に答えよ。
(1)水位が一定の速さで上昇するとき、g(y)は定数関数であることを示せ。
(2)g(y)=$e^y$のとき、h(t)を求めよ。

2020早稲田大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{dx}{(x^3+1)^2}$
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{dx}{x^3+1}=\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }}{9}\pi+\displaystyle \frac{1}{3}log\ 2$

出典：2023年東北医科薬科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 関数f(x)は区間x \geqq 0において連続な増加関数でf(0)=1を満たすとする。\\
ただしf(x)が区間x \geqq 0における増加関数であるとは、区間内の任意の実数x_1,x_2に対し\\
x_1 \lt x_2ならばf(x_1) \lt f(x_2)が成り立つ時をいう。以下、nは正の整数とする。\\
(1)\lim_{n \to \infty}\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx=\infty　を示せ。\\
\\
(2)区間y \gt 2 において関数F_n(y)をF_n(y)=\int_{2+\frac{1}{n}}^y\frac{f(x)}{2-x}dxと定めるとき、\\
\\
\lim_{y \to \infty}F_n(y)=\inftyを示せ。また2+\frac{1}{n}より大きい実数a_nで\\
\\
\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx+\int_{{2+\frac{1}{n}}}^{a_n}\frac{f(x)}{2-x}dx=0\\
\\
を満たすものがただ1つ存在することを示せ。\\
(3)(2)のa_nについて、不等式a_n \lt 4がすべてのnに対して成り立つことを示せ。
\end{eqnarray}

2022名古屋大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分と不等式の証明)

①$0≦x≦1$のとき、$1-x^2≦1-x^4≦1$が成り立つことを示せ。
②不等式$\frac{\pi}{4} \lt \int_0^1\sqrt{1-x^4}dx \lt 1$を示せ。

問題文全文(内容文)：
座標空間において，連立不等式
$x^2+y^2\leqq 1$
$|x|\leqq \sin z $
$|y|\leqq \sin z $
$0\leqq z \leqq \dfrac{\pi}{2}$
で定められる立体を$K$とする。
（1）$t$を$0\leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}$を満たす定数として、立体$K$を$z$軸に垂直な平面$z＝t$で切ったときの断面積を$S(t)$とする。必要に応じて場合分けをして、$S(t)$を$t$の式で表せ。
（2）立体$K$のうち、2つの平面$z=0$と$z=\dfrac{\pi}{4}$ではさまれた部分の体積$V$を求めよ。
（3） 立体$K$の体積$W$を求めよ。