問題文全文(内容文)：
平行四辺形$ABCD$において辺$CD$を$1:2$に内分する点を$E$、
対角線$BD$を$3:2$に内分する点を$F$とする。
3点$A,F,E$は一直線上にあることを証明せよ。

＊図は動画内参照

問題文全文(内容文)：
3点A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,-2)が与えられたとき、原点Oから平面ABCに下ろした垂線の足を点Hとする。このとき、点Hの座標と線分OHの長さを求めよ

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (4)四面体OABCにおいて、辺OAを1：3に内分する点をD、辺ABを1：2に内分する点をE、辺OCを1：2に内分する点をFとすると、
$\overrightarrow{DE}$=$\frac{\boxed{\ \ ノ\ \ }}{\boxed{\ \ ハヒ\ \ }}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\overrightarrow{OB}$,　$\overrightarrow{DF}$=$-\frac{\boxed{\ \ ホ\ \ }}{\boxed{\ \ マ\ \ }}\overrightarrow{OA}$+$\frac{\boxed{\ \ ミ\ \ }}{\boxed{\ \ ム\ \ }}\overrightarrow{OC}$
である。さらに、3点D,E,Fを通る平面と辺BCの交点をGとすると、
$\overrightarrow{DF}$=$\frac{\boxed{\ \ メ\ \ }}{\boxed{\ \ モ\ \ }}\overrightarrow{DE}$+$\frac{\boxed{\ \ ヤ\ \ }}{\boxed{\ \ ユ\ \ }}\overrightarrow{DF}$
である。したがって、$\overrightarrow{BG}$=$\frac{\boxed{\ \ ヨ\ \ }}{\boxed{\ \ ラ\ \ }}\overrightarrow{BC}$　となる。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

空間の点$(0,0,1)$を通り

$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする

直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を

方向ベクトルとする直線を$m$とする。

(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。

また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。

このとき$P$と$Q$の座標、

および線分$PQ$の長さを求めよ。

(2)$\ell$上に$2$点

$A=(t,-t,1),$

$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$

があり、$m$上に$2$点

$C=(1,t,3,-2t),$

$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$

があるとする。ただし、$y$は実数とする。

四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。

$V(0)$を求めよ。

(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、

$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 四面体OABCがあり、辺OA, OB, OCの長さはそれぞれ$\sqrt{13}$, 5, 5である。
$\overrightarrow{OA}$・$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$・$\overrightarrow{OC}$=1,　$\overrightarrow{OB}$・$\overrightarrow{OC}$=-11 とする。頂点Oから$\triangle$ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする。以下の問いに答えよ。
(1)線分ABの長さを求めよ。
(2)実数$s$, $t$を$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$s\overrightarrow{AB}$+$t\overrightarrow{AC}$ を満たすように定めるとき、$s$と$t$の値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問