問題文全文(内容文)：
なめらかな水平面上を速さ10m/sですべっていた質量2.0kgの物体が、96Jの仕事をされた。物体の速さは何m/sになるか。

問題文全文(内容文)：
なめらかな水平面上をすべっていた物体が、20Jの仕事をされた。物体の運動エネルギーは何J増加するか。

問題文全文(内容文)：
50Jの運動エネルギーをもつ物体が、静止するまでに他の物体にすることのできる仕事は何Jか。

問題文全文(内容文)：
$a_1 = 10,\quad a_{n+1} = \sqrt{2a_n - 1}\quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$ と定められた数列 $\{a_n\}$ を考える。以下の問に答えなさい。\\
(1) 任意の自然数 $n$ について，$a_n > 1$ であることを示しなさい。\\
(2) 任意の自然数 $n$ について，$a_n > a_{n+1}$ であることを示しなさい。\\
(3) 任意の自然数 $n$ について，$a_n < 1 + \displaystyle\frac{10}{n}$ であることを示しなさい。\\
(4) 任意の正の実数 $h$ について，以下の条件を満たす自然数 $m$ が存在することを示しなさい。\\
条件：$k \geq m$ を満たすすべての自然数 $k$ について $a_k < 1 + h$ である。

問題文全文(内容文)：
座標平面上に、2点 $A(-4,\,9)$、$B(8,\,3)$ と直線 $\ell$ があり、
直線 $\ell$ の式は
\[
y=ax+(a-2)
\]
である。

2点 $A$、$B$ から直線 $\ell$ に垂線をひき、
$\ell$ との交点をそれぞれ $P$、$Q$ とすると、
\[
AP=BQ
\]
となった。

このとき、$a$ の値を求めなさい。
ただし、2点 $A$、$B$ を通る直線と直線 $\ell$ は平行ではないものとする。

問題文全文(内容文)：
次は、SさんとTさんの会話です。これを読んで、下の①、②に答えなさい。

Sさん「九九の表の81個の数を全部たすと、いくつになるか、わかるかな。」

Tさん「順番に全部をたすのはたいへんだから、何か工夫しないと。
まず一の段の9個の数をたすと45で、二の段は9個の数がそれぞれ
一の段の数の2倍になっているから、和も2倍になるね。
同じように考えていくと、九九の表の81個の数全部の和は、

\[
45\times1+45\times2+45\times3+\cdots+45\times8+45\times9
\]

\[
=45\times(1+2+3+\cdots+8+9)
=\boxed{\text{ア}}^{2}
\]

だから、これを計算して $\boxed{\text{イ}}$ になるよ。」

Sさん「正解！」

Tさん「右の表1を見ていて気づいたのだけれど、四隅の1、9、81、9を
たすと100になる。ほかにも、例えば、表2の○で囲まれた、
6と24と56と14も、たすと100になるよ。」

Sさん「表2の4つの○と4つの長方形は、九九の表の中央の「25」を
回転の中心として、$90^\circ$ずつ回転させるとちょうど重なるね。
このような位置関係の、○で囲まれた4つの数の和が100になることを
証明できるかな。」

Tさん「まず、6と24と56と14は、それぞれ、
$2\times3$、$3\times8$、$8\times7$、$7\times2$
と表せるね。和は、

\[
2\times3+3\times8+8\times7+7\times2
\]

\[
=(2\times3+3\times8)+(8\times7+7\times2)
\]

\[
=(2+8)\times3+(8+2)\times7
=10\times3+10\times7
\]

\[
=10\times(3+7)=10\times10=100
\]

たしかに100になったよ。」

Sさん「表2の左上の長方形は縦2マス$\times$横3マスだね。」

Tさん「2と3をうまく使って他の3つの数も表せそう！
例えば、$3\times8$で求められる24は、

\[
3\times(10-2)
\]

と表せるね。」

Sさん「では、4つの数のうちどれか1つの数を$a\times b$と表すとき、
他の3つの数はどう表せるかな？」

Tさん「
$b\times(\boxed{\text{ウ}})$、
$(\boxed{\text{ウ}})\times(\boxed{\text{エ}})$、
$(\boxed{\text{エ}})\times a$
と表せるね。」

Sさん「この4つの数をたすと、たしかに100になるね。」

Tさん「ところで、このような位置関係の4つの数の組は
「6と24と56と14」を含めて、全部で$\boxed{\text{オ}}$組あるね。」

Sさん「そうすると、
$100\times\boxed{\text{オ}}+25$
で、たしかに、九九の表の81個の数全部の和と一致するね！」


\[
\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
1&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
3&3&6&9&12&15&18&21&24&27\\
4&4&8&12&16&20&24&28&32&36\\
5&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\
6&6&12&18&24&30&36&42&48&54\\
7&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
8&8&16&24&32&40&48&56&64&72\\
9&9&18&27&36&45&54&63&72&81
\end{array}
\qquad \text{表1}
\]

\[
\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
1&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&2&4&\bigcirc 6&8&10&12&14&16&18\\
3&3&6&9&12&15&18&21&\bigcirc 24&27\\
4&4&8&12&16&20&24&28&32&36\\
5&5&10&15&20&\boxed{25}&30&35&40&45\\
6&6&12&18&24&30&36&42&48&54\\
7&7&\bigcirc 14&21&28&35&42&49&56&63\\
8&8&16&24&32&40&48&\bigcirc 56&64&72\\
9&9&18&27&36&45&54&63&72&81
\end{array}
\qquad \text{表2}
\]

① $\boxed{\text{ア}}$、$\boxed{\text{イ}}$にあてはまる数を
それぞれ求めなさい。

② $\boxed{\text{ウ}}$、$\boxed{\text{エ}}$にあてはまる式を、
それぞれ、$a$または$b$を使った最も簡単な形で書きなさい。
また、$\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数を求めなさい。

（2つの$\boxed{\text{ウ}}$、2つの$\boxed{\text{エ}}$には、
それぞれ同じ式が入り、2つの$\boxed{\text{オ}}$には
同じ数が入ります。）

問題文全文(内容文)：
右の図で、直線 $\ell$ は関数 $y=-2x+12$ のグラフ、直線 $m$ は関数
$y=-\frac{1}{2}x+b$ のグラフです。点A、点Bは、それぞれ、直線 $\ell$ と
$x$ 軸、$y$ 軸との交点です。また、点Cは、直線 $\ell$ と直線 $m$ との交点、
点Dは、直線 $m$ と $x$ 軸との交点です。

このとき、次の各問に答えなさい。
ただし、点Cは線分AB上（両端は含まない）にあるものとします。

(1) 点Aの $x$ 座標を求めなさい。
(2) $\angle BOC=\angle OBC+\angle ACD$ となるときの $b$ の値を、
途中の説明も書いて求めなさい。その際、解答用紙の図を用いて説明してもよいものとします。

問題文全文(内容文)：
右の図のような四角形 $ABCD$ があり，
$AB=3\sqrt{5}$, $BC=11$, $CD=3$, $DA=5$, $\angle ADC=90^\circ$
である。

(1) 線分 $AC$ の長さを求めよ。また，$\cos\angle ABC$ の値を求めよ。
(2) 辺 $CD$ 上に点 $E$ をとり，線分 $AE$ を折り目として $\triangle AED$ を折り返すと，点 $D$ は辺 $BC$ 上の点 $F$ に重なった。このとき，$\sin\angle AFB$ の値を求めよ。また，線分 $BF$ の長さを求めよ。
(3) (2)のとき，線分 $EF$ の長さを求めよ。さらに，直線 $AF$ と直線 $BE$ の交点を $G$ とするとき，\[\frac{BG}{GE}\]の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(2) 右の図2のように，辺$BC$と線分$DE$との交点を$F$とします。また，辺$BC$の延長上に点$G$を，$CG=CB$となるようにとります。線分$AF$の延長上に点$H$を，$AH=AB$となるようにとります。線分$CG$上に点$I$を，$HI=GI$となるようにとります。

このとき，次の①，②に答えなさい。

① $\angle AIG=106^\circ$のとき，$\angle ABC$の大きさを求めなさい。

② $AE:EB=7:18$，$AF:FH=7:13$のとき，$\triangle AEF$と$\triangle FHI$の面積の比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。

問題文全文(内容文)：
右の図で、曲線は関数 $y=\frac{a}{x}$ のグラフの $x>0$ の部分です。
また、直線 $\ell$ は関数 $y=-\frac{3}{2}x+15$ のグラフです。点A、点Bは曲線と直線 $\ell$ との交点で、点Aの座標は $(2,\,12)$、点Bの $y$ 座標は3です。
このとき、次の各問に答えなさい。
(1)　$a$ の値を求めなさい。
(2)　点P、点Qは、原点Oを同時に出発し、点Pは $y$ 軸上を負の方向に毎秒2cmの速さで動き、点Qは $x$ 軸上を負の方向に毎秒1cmの速さで動きます。
線分APと線分BQとの交点をCとするとき、$\triangle PBC$ の面積が $\triangle QAC$ の面積より $5\,\mathrm{cm}^2$ 大きくなるのは、点P、点Qが原点Oを同時に出発してから何秒後か求めなさい。
ただし、座標軸の単位の長さを1cmとします。

問題文全文(内容文)：
(1)（図A）の容器に入っている水の体積は何Lですか。
(2) いま、（図A）の容器に（図B）のような直方体の形をした石を、この向きのまま静かにしずめました。
このとき、容器から何$\text{cm}^3$の水の量があふれ出しますか。

問題文全文(内容文)：
斜線部分の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
下図のように1辺の長さが3の正四面体を2個つなぎ合わせてできる六面体がある。辺ABの中点をD、直線PQと平面ABCの交点をEとすると、

$PD=\frac{【ア】\sqrt{【イ】}}{【ウ】}$，

$PE=\sqrt{【エ】}$

である。したがって、この六面体の表面積は

$\frac{【オカ】\sqrt{【キ】}}{【ク】}$，

体積は

$\frac{【ケ】\sqrt{【コ】}}{【サ】}$

である。また、

$\cos\angle PDQ=\frac{【シス】}{【セ】}$

である。

この六面体の各面の重心を結んでできる正三角柱の表面積は

$【ソ】\sqrt{【タ】}+\frac{\sqrt{【チ】}}{【ツ】}$，

体積は

$\frac{\sqrt{【テ】}}{【ト】}$

である。

問題文全文(内容文)：
BCを斜辺とする直角三角形ABCと点Pがある。$AB=4,\ AC=3$のとき、$AP$の長さを次の場合について求めよ。

(1) $P$が$\triangle ABC$の外心のとき

(2) $P$が$\triangle ABC$の垂心のとき

(3) $P$が$\triangle ABC$の重心のとき

(4) $P$が$\triangle ABC$の内心のとき

問題文全文(内容文)：
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問題1
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次の［ア］～［サ］にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。また、（5）の問いに答えなさい。

（1）$\dfrac{5}{238}\times\left\{3\times8.3-\left(3+\dfrac{\text{ア}}{20}\right)\right\}+0.625=1\dfrac{1}{14}$

（2）1以上の整数を小さいものから順に、［図1］のような規則で並べます。たとえば、2段目の左から3番目の数は8です。

このように数を並べたとき、5段目の左から6番目の数は［イ］です。また、200は［ウ］段目の左から［エ］番目に並びます。

（3）ある子ども会には4年生から6年生が所属していて、どの学年にも少なくとも1人は児童が所属しています。4年生の児童には鉛筆4本と消しゴム1個、5年生の児童には鉛筆5本と消しゴム2個、6年生の児童には鉛筆6本と消しゴム3個を配布したところ、鉛筆は100本、消しゴムは40個必要でした。

この子ども会には4年生から6年生まで合わせて［オ］人が所属しています。

また、4年生、5年生、6年生の所属する児童数で考えられる組み合わせは全部で［カ］通りあります。

（4）$3\mathrm{g}$ のおもりAと、$5\mathrm{g}$ のおもりBがたくさんあります。

おもりA、おもりBの個数をうまく組み合わせて、［図2］のようなてんびんの右側の皿におもりのみをのせて、左側の皿にいろいろな物体をのせて、てんびんをつり合わせます。ただし、重さは$1\mathrm{g}$単位です。

どのような重さをつり合わせることができるか、［実験1］、［実験2］、［実験3］を通して考えます。

［実験1］おもりBを使わず、おもりAのみでつり合わせるとき、つり合わせることができる重さ（$\mathrm{g}$）は［キ］の倍数です。

［実験2］おもりBを1個だけ使い、おもりAをいくつか使って（0個でもよい）つり合わせるとき、つり合わせることができる重さ（$\mathrm{g}$）は5以上で、［キ］で割ったときに［ク］余る数です。

［実験3］おもりBを2個だけ使い、おもりAをいくつか使って（0個でもよい）つり合わせるとき、つり合わせることができる重さ（$\mathrm{g}$）は10以上で、［キ］で割ったときに［ケ］余る数です。

1以上の整数を［キ］で割ったときの余りに着目すると、［コ］$\mathrm{g}$以上の重さはすべて［実験1］、［実験2］、［実験3］でつり合わせることができることがわかります。ただし、［コ］は考えられる数のうちもっとも小さい整数とします。

このことから、［実験1］、［実験2］、［実験3］で$1\mathrm{g}$以上でつり合わせることができない重さは［サ］$\mathrm{g}$であることがわかります。ただし、［サ］は答えが2つ以上になる場合は、「2、3」のように、答えと答えの間に「、」をつけて答えなさい。

（5）［図3］のような正方形のマス目で区画された土地があります。点線……のように、地点Aから地点Bまで進む進み方の中で、もっとも距離が短いものを実線――で解答用紙の図に書き込みなさい。ただし、車道の幅は等しく、マス目はすべて正方形です。また、車道を渡るときには、車道に対して垂直に渡るものとします。


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問題2
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地点Pから地点Qまでは$6\mathrm{km}$離れていて、直線の線路が複線（平行で同じ長さの線路が2本）で敷かれていて、その間には［図1］のように$550\mathrm{m}$のトンネルXと$200\mathrm{m}$のトンネルYがあります。この線路を2両編成の電車Aの先頭が地点Pから地点Qまで走ります。さらに、電車Aの先頭が地点Pから発車したときと同時に4両編成の電車Bの先頭が地点Qから発車し、地点Pまで走ります。

ただし、電車Aと電車Bはそれぞれ一定の速さで走ります。また、電車Aと電車Bの車両1両の長さは、すべて同じものとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

（1）電車AがトンネルXに入り始めてから完全に出るまで1分56秒かかり、トンネルYの中にすべての車両が入っている時間が34秒間でした。このとき、電車Aの速さは秒速何$\mathrm{m}$になりますか。また、この電車1両の長さは何$\mathrm{m}$ですか。

（2）電車Aは（1）で求めた速さで走るものとします。トンネルXとトンネルYの中に、電車Aのすべての車両がそれぞれ入っていた時間と、電車Bのすべての車両がそれぞれ入っていた時間の合計は3分21秒でした。このとき、電車Bの速さは秒速何$\mathrm{m}$になりますか。

（3）電車Aと電車Bはそれぞれ（1）、（2）で求めた速さで走るものとします。電車Aと電車Bは、ともにトンネルXにすべての車両が入っているときにすれ違い始めました。地点PからトンネルXの左端（地点P側の入り口）までは、何$\mathrm{m}$から何$\mathrm{m}$までになると考えられますか。


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問題3
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100人のグループの中から代表を選ぶ選挙をしています。現在、70人が投票を終えており、［表1］のような途中経過となっています。このとき、次の［ア］～［カ］にあてはまるもっとも小さい整数をそれぞれ求めなさい。ただし、当落線上で並んだ場合、当選とはいえないものとします。

［表1］

名前：A、B、C、D、E、F、G、H

得票数：27、13、5、11、7、2、4、1

（1）代表が1名の場合、Eさんが当選するには、残り30票のうち何票取れば、それ以外の人の得票数にかかわらず当選できるか考えます。EさんがAさんの得票数に追い付くためには30票のうち［ア］票必要で、さらにその残り［イ］票の過半数である［ウ］票以上を取れば当選できます。したがって、残り30票のうち、Eさんがあと［エ］票取ると、それ以外の人の得票数にかかわらず当選するといえます。

（2）代表が3名の場合、この70票ですでに当選が決まっている人は［オ］人います。ただし、1人もいない場合は0と答えるものとします。

（3）代表が3名の場合、残り30票のうち、Eさんはあと［カ］票取ると、それ以外の人の得票数にかかわらず当選するといえます。


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問題4
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テーブルの上にカードが4枚以上置いてあり、そこからAさん、Bさんが交互にカードを取るゲームをします。ルールは、

・一度に取れるカードは、1枚、2枚、3枚のいずれかです。

・パス（0枚）はできません。

・相手が直前に取ったカードと同じ枚数のカードは取れません。

・カードを取れなくなった方が負けになり、相手の勝ちになります。

・Aさんが先にカードを取ります。

・Aさん、Bさんは、最初に置いてあるカードの枚数を知っています。

このとき、次の［ア］～［ケ］にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。また、（3）の問いに答えなさい。

（1）最初に4枚のカードがあるとき、

○Aさんが1枚取ったら、Bさんは［ア］枚取ればBさんが勝ちます。

○Aさんが2枚取ったら、Bさんは［イ］枚取ればBさんが勝ちます。

○Aさんが3枚取ったら、Bさんは［ウ］枚取ればBさんが勝ちます。

（2）最初に8枚のカードがあるとき、

○Aさんが1枚取ったら、Bさんは［エ］枚取れば（1）よりBさんが勝ちます。

○Aさんが2枚取ると、

・Bさんが1枚取って、Aさんが2枚取ったら、Bさんは［オ］枚取ればBさんが勝ちます。

・Bさんが1枚取って、Aさんが3枚取ったら、Bさんは［カ］枚取ればBさんが勝ちます。

・Bさんが3枚取って、Aさんが1枚取ったら、Bさんは［キ］枚取ればBさんが勝ちます。

・Bさんが3枚取って、Aさんが2枚取ったら、Bさんは［ク］枚取ればBさんが勝ちます。

○Aさんが3枚取ったら、Bさんは［ケ］枚取れば（1）よりBさんが勝ちます。

（3）Bさんの取り方にかかわらずAさんが必ず勝つ方法があるのは、最初のカードの枚数がどのようなときですか。すべての場合がわかるように答えなさい。


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問題5
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直角三角形$ABC$があり、辺$AB$、辺$BC$、辺$CA$の長さはそれぞれ$30\mathrm{cm}$、$40\mathrm{cm}$、$50\mathrm{cm}$です。

［図1］のように、辺$BC$の真ん中の点を$D$とし、角$CED$は直角です。

このとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

（1）$DE$の長さは何$\mathrm{cm}$ですか。

（2）点$P$は辺$BC$上を動くものとします。三角形$PDE$の面積が$24\mathrm{cm}^2$になるとき、点$P$が点$B$から何$\mathrm{cm}$のところにありますか。ただし、答えが2つ以上になる場合は、「2、3」のように、答えと答えの間に「、」をつけて答えなさい。

（3）点$P$は三角形$ABC$の辺の上または内部を動くものとします。三角形$PDE$の面積が$24\mathrm{cm}^2$以上になるとき、点$P$が動くことのできる部分の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。

［図2］のような、角$ABF$が直角である直角三角形$ABF$、角$ABG$が直角である直角三角形$ABG$、角$GBF$が直角である直角二等辺三角形$BFG$を面にもつ三角すい$ABFG$があります。［図1］の三角形$ABC$は三角すい$ABFG$に含まれていて、点$C$が辺$FG$の真ん中の点となり、辺$AC$、辺$BC$がそれぞれ三角形$AFG$、三角形$BFG$の面の上にあります。

（4）三角すい$ABFG$の体積は何$\mathrm{cm}^3$ですか。ただし、角すいの体積は

角すいの体積$=$底面積$\times$高さ$\div3$

で求められます。

（5）点$P$は三角形$AFG$の辺の上または内部を動くものとします。三角形$PDE$の面積が$24\mathrm{cm}^2$以上になるとき、点$P$が動くことのできる部分の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。三角形$PDE$の辺$DE$が三角形$AFG$を含む平面に垂直になっていることに着目して解きなさい。

（6）点$P$は三角すい$ABFG$の辺や面の上または立体の内部を動くものとします。三角形$PDE$の面積が$24\mathrm{cm}^2$以上になるとき、点$P$が動くことができる部分の体積は何$\mathrm{cm}^3$ですか。

問題文全文(内容文)：
1　次の□にあてはまる数を求めなさい。

(1) $3.125\div0.8-0.375\div\square=1.75$

(2) K中学校の剣道部の生徒数は□人です。合宿の時に、すべて5人部屋に分けると、2人が部屋に入れませんでした。そこで、すべて6人部屋に分けると、2部屋余り、最後の部屋は4人になりました。

(3) □％の食塩水$200\mathrm{g}$と5％の食塩水$300\mathrm{g}$を混ぜる予定でしたが、誤って混ぜる量を逆にしたため7.1％になってしまいました。

(4) Aさんが1人ですると12時間、Bさんが1人ですると8時間かかる仕事があります。AさんとBさんで3時間一緒に仕事をしたあと、残りをAさんが1人で仕上げると、あと□時間かかります。

(5) 日本の昔の単位には里（り）という長さを表す単位があり、外国にはマイルという長さを表す単位があります。$1$里$=3.9\mathrm{km}$、$1$マイル$=1.6\mathrm{km}$とするとき、$3000$里$=$□マイルです。

(6) 分子が1で分母が整数の分数のうち、$0.09$より大きく$0.21$より小さい数は全部で□個あります。

(7) $49280000$は、2で□回割り切れます。

(8) 半径$2\mathrm{cm}$の円を、右下の図の平行四辺形の辺に沿って、すべることなく転がして1周させます。円の中心が動いてできる線の長さは□$\mathrm{cm}$です。ただし、円周率は3.14とします。


2　ある路線には6両編成の普通列車と10両編成の急行列車、7両編成の特急列車の3種類が運行しています。ただし、列車はすべて1両$20\mathrm{m}$です。開智さんは駅で普通列車を待っていました。その駅では急行列車は停まらないため、立ち止まっている開智さんの前を10秒で通過しました。

(1) 急行列車は時速何$\mathrm{km}$ですか。

その後、開智さんは普通列車に乗りました。乗っている途中で急行列車に追い抜かれました。急行列車が普通列車に追いついてから完全に追い抜くまで96秒かかりました。

(2) 普通列車は時速何$\mathrm{km}$ですか。

この路線の途中には橋Aがあります。橋Aは普通列車がわたり始めてからわたり終えるまでの時間と、急行列車がわたり始めてからわたり終えるまでの時間が同じです。

(3) 橋Aの長さは何$\mathrm{m}$ですか。

この路線を走っている普通列車と特急列車が出会ってから完全にすれ違うまでの時間は、急行列車と特急列車が出会ってから完全にすれ違うまでの時間の$\dfrac{13}{16}$倍でした。

(4) 特急列車は時速何$\mathrm{km}$ですか。


3　図のような正方形$ABCD$があります。

図1のように、正方形$ABCD$のそれぞれの辺の真ん中の点を$E,\ F,\ G,\ H$とし、三角形$APH$の面積を$1\mathrm{cm}^2$とします。

(1) 図1の四角形$HPSD$の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。

(2) 図1の正方形$ABCD$の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。

(3) 図1の四角形$PQRS$の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。

図2の正方形$ABCD$の辺上の点は、それぞれの辺の長さを五等分する点です。三角形$APH$の面積を$1\mathrm{cm}^2$とします。

(4) 図2の四角形$PQRS$の面積は何$\mathrm{cm}^2$ですか。


4　整数を1から☆まで小さい順に、うずまき状に並べていきます。例えば、☆$=9$まで並べるときは図1のように、☆$=10$まで並べるときは図2のように並べます。

図1

$3\ \ 4\ \ 5$

$2\ \ 1\ \ 6$

$9\ \ 8\ \ 7$

図2

$\phantom{10}\ \ 3\ \ 4\ \ 5$

$\phantom{10}\ \ 2\ \ 1\ \ 6$

$10\ \ 9\ \ 8\ \ 7$

(1) ☆$=50$まで並べるとき、右から1番目、上から1番目の数は何ですか。

(2) ☆が2けたの整数のとき、図2のように1番左の列に数が1つだけあるような整数☆は何個ありますか。

(3) ☆$=2026$まで並べるとき、右から1番目、上から1番目の数は何ですか。

(4) ☆$=2026$まで並べるとき、8は右から①番目、上から②番目の数です。①、②にあてはまる数はそれぞれ何ですか。

問題文全文(内容文)：
1　次の□にあてはまる数を答えなさい。

(1) $1\dfrac{1}{5}\times(12-8.25)\div\dfrac{2}{3}+1\dfrac{5}{6}\times\dfrac{15}{22}=\square$

(2) $\dfrac{2}{3}\times\{(52-\square)\times15+213\times13\}=2026$

(3) $8\%$ の食塩水 $100\mathrm{g}$ に、$4\%$ の食塩水を $\square\mathrm{g}$ 加えてから水を $50\mathrm{g}$ 蒸発させると $6\%$ の食塩水になりました。

(4) 栄くん、東さん、中さんの3人が同時に $\square\mathrm{m}$ 競走をしました。栄くんがゴールしたとき、東さんと中さんはそれぞれゴールの手前 $24\mathrm{m}$、$28\mathrm{m}$ の地点にいました。その後、東さんがゴールしたとき、中さんはゴールの手前 $4.8\mathrm{m}$ の地点にいました。ただし、3人の走る速さは、それぞれ一定とします。

(5) 次の数の列は左から1番目が2、2番目が7であり、3番目以降の数はその前2つの数の積の一の位の数となるように並べたものです。

$2,\ 7,\ 4,\ 8,\ 2,\ 6,\ \ldots$

例えば左から4番目の数は2番目と3番目の数の積28の一の位の数であるから8、左から5番目の数は3番目と4番目の数の積32の一の位の数であるから2となります。このとき、左から2026番目の数は□です。

(6) ある2けたの数 $AB$ と $CD$ の合計は101で、$AB$ と $DC$ の合計は110です。$A,\ B,\ C,\ D$ は0から9までのそれぞれ異なる整数を表しており、$DC$ は $CD$ の十の位の数と一の位の数を逆にしたものです。$A
(7) 右の図は正九角形の内側に正五角形を1辺が重なるようにおいた図形です。このとき、アの角度は□度です。

(8) 右の図形を直線 $\ell$ を軸として1回転させてできる立体の表面積は $\square\mathrm{cm}^2$ です。ただし、円周率は3.14とします。


2　$2\times4\times6\times\cdots\times100$、つまり2から100までの偶数をすべてかけた数を $N$ とします。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 2から100までの偶数のうち、2で2回割り切ることができる数は□個、2で3回割り切ることができる数は□個、2で4回割り切ることができる数は□個、2で5回割り切ることができる数は3個、2で6回割り切ることができる数は1個です。ア、イ、ウに入る数をそれぞれ答えなさい。

(2) $N$ を3でくり返し割ると、全部で何回割り切ることができますか。

(3) $N$ を96でくり返し割ると、全部で何回割り切ることができますか。


3　正三角形 $ABC$ において、$AD:BE=3:1$、$AD$ と $DE$ は垂直、$F$ は $AB$ の真ん中の点、$G$ は $AE$ と $DF$ が交わる点です。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) $AD:DC$ を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2) 三角形 $ABC$ と三角形 $ADE$ の面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(3) 三角形 $ABC$ と三角形 $AGD$ の面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。


4　次のように、分数が下の規則にしたがって並んでいます。

【規則1】分子は2ずつ増える

【規則2】分母が1のときは1個、2のときは2個、3のときは3個、…のようにその数の個数だけ小さい順に並べる

【規則3】約分をしないで並べる

$\dfrac{2}{1},\ \dfrac{4}{2},\ \dfrac{6}{2},\ \dfrac{8}{3},\ \dfrac{10}{3},\ \dfrac{12}{3},\ \dfrac{14}{4},\ \ldots$

例えば、左から3番目の数は $\dfrac{6}{2}$、7番目の数は $\dfrac{14}{4}$ となります。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 分母が4である分数の和を答えなさい。ただし、約分して答えること。

(2) 分母が9である分数の和を答えなさい。ただし、約分して答えること。

(3) 分母が□である分数の和は2026です。□に入る数を答えなさい。


5　図1のような仕切りのついた水そうがあり、アの上部から一定の割合で水を注ぎます。また、イの底面には排水口があり、1分間に $150\mathrm{cm}^3$ の割合で水を排水します。はじめは排水口を閉めた状態から水を入れ、しばらくしてから排水口を開け、水そうが満水になったら水を注ぐのをやめ、またしばらくして排水口を閉めてから容器を太線の部分を固定して図2のように、ゆっくりと左に $45^\circ$ 傾けたところ、$100\mathrm{L}$ の水がこぼれました。図3のグラフは水を注いでからの時間とアの部分の高さを表したものです。ただし、水そうと仕切りの厚みは考えないものとします。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 水は毎分何 $\mathrm{cm}^3$ の割合で注がれていますか。

(2) 排水口を開けたのは水を入れ始めてから何分後ですか。

(3) 排水口を閉めたのは水そうが満水になってから何分後ですか。

問題文全文(内容文)：
$3$ 次の文章を読み、下の問 $1$ 〜 $5$ に答えなさい。〔解答番号 $\fbox{1}$ 〜 $\fbox{5}$ 〕

図のように，電気容量が同じ $C$ のコンデンサー $C_1, C_2$ と同じ特性のダイオード $D_1, D_2$, 抵抗値 $R$ の電気抵抗 $\text{R}$ からなる回路に，起電力が同じ $V_0$ で極性の逆の $2$ つの電池を並列に接続した電源 $\text{E}$ の電圧を，スイッチ $\text{S}$ で切り替えて回路にかける操作を繰り返す。ダイオード $D_1, D_2$ は理想的なダイオードで，順方向には抵抗 $0$ で電流が流れ，逆方向にはどのように大きな電圧がかかっても電流が流れないものとする。回路内の点 $\text{G}$ を接地して電位の基準とする。最初，コンデンサー $C_1, C_2$ に電荷は蓄えられていない。回路内において，抵抗 $\text{R}$ 以外の電気抵抗はすべて無視でき，回路のインダクタンスも無視できるものとする。この回路に次の操作を繰り返し行う。

操作Ⅰ：スイッチ $\text{S}$ を $\text{a}$ 側につなぎ，十分に時間が経過した後，$\text{S}$ を開く。
操作Ⅱ：スイッチ $\text{S}$ を $\text{b}$ 側につなぎ，十分に時間が経過した後，$\text{S}$ を開く。

操作Ⅰと操作Ⅱを続けて行うことを単に「スイッチ操作」と呼び，操作Ⅰと操作Ⅱを続けて $1$ 回行うときを「スイッチ操作 $1$ 回」と数える。

問 $1$ 次の文章中の空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ウ}$ に入る文字または式，数値の組合せとして正しいものを，下の $\text{①}$ 〜 $\text{⑧}$ のうちから一つ選びなさい。 $\fbox{1}$

一般に，スイッチを切り替える直前直後でコンデンサーの極板間の電圧は変化しない。回路内で点 $\text{K, P, L}$ の電位をそれぞれ $V_K, V_P, V_L$ と表すと，$1$ 回目のスイッチ操作で，スイッチ $\text{S}$ を $\text{a}$ 側に接続した直後は，$V_K = V_P = V_0, V_L = 0$ なので，ダイオード $D_1, D_2$ のうち電流が流れるダイオードは $\fbox{ア}$ であり，電気抵抗 $\text{R}$ を流れる電流の大きさは $\fbox{イ}$ となる。十分に時間が経過し，操作Ⅰが終了すると，点 $\text{P}$ の電位は $\fbox{ウ}$ となる。

問 $2$ 次の文章中の空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ウ}$ に入る文字または式，数値の組合せとして正しいものを，下の $\text{①}$ 〜 $\text{⑧}$ のうちから一つ選びなさい。 $\fbox{2}$

$1$ 回目のスイッチ操作で，スイッチ $\text{S}$ を $\text{b}$ 側に接続を切り替えた直後，ダイオード $D_1, D_2$ のうち電流が流れるダイオードは $\fbox{ア}$ で，電気抵抗 $\text{R}$ を流れる電流の大きさは $\fbox{イ}$ となる。十分に時間が経過し，操作Ⅱが終了すると，コンデンサー $C_2$ に蓄えられる電気量は $\fbox{ウ}$ となる。

$n$ 回目（$n$ は自然数）のスイッチ操作が終了した時点の点 $\text{P}$ の電位を $V_P(n)$ と表記する。

問 $3$ $2$ 回目のスイッチ操作が終了した時点の点 $\text{P}$ の電位 $V_P(2)$ はいくらか。正しいものを，次の $\text{①}$ 〜 $\text{⑥}$ のうちから一つ選びなさい。 $V_P(2) = \fbox{3}$

$\text{①}$ $-2V_0$ $\text{②}$ $-V_0$ $\text{③}$ $-\frac{1}{2}V_0$ $\text{④}$ $\frac{1}{2}V_0$ $\text{⑤}$ $V_0$ $\text{⑥}$ $2V_0$

問 $4$ $V_P(n+1)$ と $V_P(n)$ の間に成り立つ関係はどれか。正しいものを，次の $\text{①}$ 〜 $\text{⑥}$ のうちから一つ選びなさい。 $V_P(n+1) = \fbox{4}$

$\text{①}$ $\frac{1}{2}V_P(n) + \frac{1}{2}V_0$ $\text{②}$ $\frac{1}{2}V_P(n) + V_0$ $\text{③}$ $V_P(n) + \frac{1}{2}V_0$
$\text{④}$ $V_P(n) + V_0$ $\text{⑤}$ $\frac{3}{2}V_P(n) + \frac{1}{2}V_0$ $\text{⑥}$ $\frac{3}{2}V_P(n) + V_0$

問 $5$ スイッチ操作の回数 $n$ を十分に多くすると，コンデンサー $C_1, C_2$ が蓄えている電気量が変化しなくなる。このとき，コンデンサー $C_1$ が蓄えている電気量はいくらか。正しいものを，次の $\text{①}$ 〜 $\text{⑥}$ のうちから一つ選びなさい。 $\fbox{5}$

$\text{①}$ $\frac{1}{2}CV_0$ $\text{②}$ $CV_0$ $\text{③}$ $\frac{3}{2}CV_0$ $\text{④}$ $2CV_0$ $\text{⑤}$ $\frac{5}{2}CV_0$ $\text{⑥}$ $3CV_0$

（図表は動画参照）

問題文全文(内容文)：
【2】(1) $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ とする。連立方程式$$\begin{cases} \cos x + \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x + \cos y = \frac{\sqrt{6}}{2} \end{cases}$$の解 $x, y$ について，$\sin(x+y) = \text{ア}$, $x = \text{イ}\pi$, $y = \text{ウ}\pi$ である。(2) 平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $\vert{}\vec{a} - 2\vec{b}\vert{} = 1$ と $\vert{}-2\vec{a} + 7\vec{b}\vert{} = 1$ を満たすとする。このとき，$\vert{}\vec{a} + \vec{b}\vert{}$ の最大値は エ，最小値は オ である。

問題文全文(内容文)：
【3】座標平面上に3点 $A_0(0, 0)$, $B_0(2, 0)$, $C_0(1, \sqrt{3})$ があり，線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{B}_0$, $\mathrm{B}_0\mathrm{C}_0$, $\mathrm{C}_0\mathrm{A}_0$ をそれぞれ $2 : 1$ に内分する点 $\mathrm{A}_1$, $\mathrm{B}_1$, $\mathrm{C}_1$ をとる。以下同様にして，正の整数 $n$ に対し，線分 $\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n$, $\mathrm{B}_n\mathrm{C}_n$, $\mathrm{C}_n\mathrm{A}_n$ をそれぞれ $2 : 1$ に内分する点 $\mathrm{A}_{n+1}$, $\mathrm{B}_{n+1}$, $\mathrm{C}_{n+1}$ をとる。また，$\vec{p_n} = \vec{\mathrm{B}_{n-1}\mathrm{B}_n}$ ($n = 1, 2, 3, \cdots$) とおく。 (1) $\vec{p_1}$, $\vec{p_2}$ をそれぞれ成分表示せよ。(2) $\vec{p_{n+2}}$ を $\vec{p_n}$ を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = 2^x - x^2$ について考える。必要ならば，$0.6 < \log 2 < 0.7, -0.4 < \log(\log 2) < -0.3$ を用いてよい。
(3) 方程式 $f(x) = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。
(4) 方程式 $f(x) = 0$ の実数解のうち，最小のものを $p$ とする。このとき，曲線 $y = f(x)$ の $x \leqq 0$ の部分，放物線 $y = -x^2 + \frac{2}{\log 2} x$，および $2$ つの直線 $x = p, x = 0$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
3 空間内に平行四辺形 $\text{ABCD}$ を底面とする四角錐 $\text{O}-\text{ABCD}$ があり，平行四辺形 $\text{ABCD}$ は $\text{AC} = \sqrt{61}, \text{BD} = \sqrt{21}$ を満たしている。また，線分 $\text{AC}$ と線分 $\text{BD}$ の交点を $\text{H}$ とすると，直線 $\text{OH}$ は平面 $\text{ABC}$ に垂直で
$\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = -\frac{1}{2}, \quad \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OD}} = \frac{19}{2}, \quad \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = \frac{25}{2}$
が成り立っている。このとき
$\text{OA} = \sqrt{\text{[アイ]}}, \quad \text{OB} = \text{[ウ]} \sqrt{\text{[エ]}}, \quad \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = \text{[オカ]}$
である。
(1) $\text{AB} = \text{[キ]}, \quad \text{BC} = \text{[ク]}$ である。
また，平行四辺形 $\text{ABCD}$ の面積を $S$ とすると，$S = \text{[ケコ]} \sqrt{\text{[サ]}}$ である。
(2) 線分 $\text{OA}$ の中点を $\text{P}$，線分 $\text{OB}$ を $3 : 1$ に内分する点を $\text{Q}$，線分 $\text{OD}$ を $1 : 3$ に内分する点を $\text{R}$ とし，平面 $\text{PQR}$ と直線 $\text{OC}$ の交点を $\text{T}$ とする。$\overrightarrow{\text{OT}}$ を $\overrightarrow{\text{OC}}$ を用いて表すと $\overrightarrow{\text{OT}} = \frac{\text{[シ]}}{\text{[スセ]}} \overrightarrow{\text{OC}}$ である。線分 $\text{PT}$ と線分 $\text{QR}$ の交点を $\text{U}$ とするとき，$\overrightarrow{\text{OU}}$ を $\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OC}}$ を用いて表すと
$\overrightarrow{\text{OU}} = \frac{\text{[ソ]}}{\text{[タチ]}} (\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OC}})$
である。
また，$\overrightarrow{\text{UO}} \cdot \overrightarrow{\text{UD}} = w_1, \quad \overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{OA}} = w_2$ とするとき
$\frac{w_1}{w_2} = \frac{\text{[ツテト]}}{\text{[ナニ]}}$
である。

問題文全文(内容文)：
図のように，点 $\text{O}$ を中心とする半径 $1$ の球面上に異なる $3$ 点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ があり，$\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}}, \overrightarrow{\text{OC}}$ はどの $2$ つも互いに垂直であるとする。$s, t$ を正の定数とし，球面上に点 $\text{P}, \text{Q}$ が
$\overrightarrow{\text{OP}} = \frac{1}{2} \overrightarrow{\text{OA}} + s \overrightarrow{\text{OC}}, \quad \overrightarrow{\text{OQ}} = \frac{1}{3} \overrightarrow{\text{OB}} + t \overrightarrow{\text{OC}}$
をみたすとき，$s = \frac{\sqrt{\text{[ミ]}}}{\text{[ム]}}, t = \frac{\text{[メ]} \sqrt{\text{[モ]}}}{\text{[ヤ]}}$ であり，$\cos \angle\text{POQ}$ の値は $\frac{\sqrt{\text{[ユ]}}}{\text{[ヨ]}}$ である。また，点 $\text{C}$ から平面 $\text{OPQ}$ に垂直 $\text{CH}$ を下ろすとき，
$\overrightarrow{\text{CH}} = \frac{\sqrt{\text{[ラ]}} \overrightarrow{\text{OA}} + \text{[リ]} \sqrt{\text{[ル]}} \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OC}}}{\text{[レロ]}}$
であり，四面体 $\text{OCPQ}$ の体積は $\frac{\text{[ワ]}}{\text{[ヲあ]}}$ である。

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = 2^x - x^2$ について考える。必要ならば $0.6 < \log 2 < 0.7$ ，$-0.4 < \log(\log 2) < -0.3$ を用いてよい。
(1) $f(x)$ は区間 $x \geqq 4$ で増加することを示せ。
(2) 方程式 $f'(x) = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(3) $\sum_{k=1}^{n} \vec{P_{2k-1}}$ を $\vec{P_1}$ を用いて表せ。ただし，$\sum_{k=1}^{n} \vec{P_{2k-1}} = \vec{P_1} + \vec{P_3} + \vec{P_5} + \dots + \vec{P_{2n-1}}$ を表すとする。
(4) 点 $\text{B}_{2n}$ の座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^4 + 1}}$ ($x \geqq 0$) は $x =$ [い] のとき，極大値 $\frac{\sqrt{\text{[う]}}}{\text{[え]}}$ をとる。また，曲線 $y = f(x)$ 上の $x = \sqrt[\text{[お]}]{\text{[か]}}$ における点は変曲点である。ここで，この変曲点における接線が $x$ 軸および $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $\text{A}, \text{B}$ とする。原点を $\text{O}$ とするとき，$\triangle \text{OAB}$ の面積は $\frac{\text{[きく]} \sqrt{\text{[けこ]}}}{\text{[さし]}}$ である。次に，$a$ を正の定数とする。方程式 $\sqrt{x^4 + 1} = ax$ は $a > \sqrt{\text{[す]}}$ のとき，異なる [せ] 個の実数解をもつ。

問題文全文(内容文)：
(1) 関数 $f(x) = \sin^{11} x$ の $-\pi \leqq x \leqq \pi$ における極大値は $x = $ [ア] $\pi$ のとき [イ] であり，極小値は $x = $ [ウ] $\pi$ のとき [エ] である。
また，曲線 $y = f(x)$ の $5$ つある変曲点の $x$ 座標を小さい順に $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ とするとき，
$\sum_{k=1}^{5} \cos^2 \alpha_k = \frac{[\text{オカ}]}{[\text{キク}]}$である。
(2) $0$ 以上の整数 $m, n$ に対して，
$S_{m,n} = \int_{-1}^{1} (1-x)^m (1+x)^n \, dx$
とすると，
$S_{3,1} = \frac{[\text{ケ}]}{[\text{コ}]}$である。
また，$n$ を $1$ 以上の整数とするとき，$S_{m,n}$ を $S_{m+1,n-1}$ を用いて表すと，
$S_{m,n} = \frac{[\text{サ}]}{[\text{シ}]} S_{m+1,n-1}$である。（選択肢略）
また，$S_{5,5} = \frac{[\text{スセソ}]}{[\text{タチツ}]}$である。
(3) (1)において，$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸および直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれる部分の面積は $\frac{[\text{テトナ}]}{[\text{ニヌネ}]}$ である。

問題文全文(内容文)：
原点を $\mathrm{O}$ とする座標空間に3点 $\mathrm{A}(2,2,0)$, $\mathrm{B}(0,2,2)$, $\mathrm{P}(t,t,t)$ がある。線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする球面を $K$ とし、球面 $K$ の中心を $\mathrm{C}$ とする。ただし、$t$ は正の実数とする。
(1) $\vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OB}} =$ [ あ ] である。また、球面 $K$ の方程式は$$x^2 + y^2 + z^2 - [ い ]x - [ う ]y - [ え ]z + [ お ] = 0$$である。
(2) 直線 $\mathrm{OP}$ と球面 $K$ の共有点を $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$ とし、$\mathrm{OP}_1 < \mathrm{OP}_2$ とする。$\mathrm{P}_1$ の $x$ 座標は [ か ] / [ き ] であり、$\mathrm{P}_2$ の $x$ 座標は [ く ] である。このとき、三角形 $\mathrm{CP}_1\mathrm{P}_2$ の面積は [ け ][ こ ] $\sqrt{[ さ ]}$ / [ し ] である。
(3) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面が球面 $K$ と接するとき、接点の座標を $(p,q,r)$ とすると、$p = [ す ] \mp [ せ ] \sqrt{[ そ ]} / [ た ]$ である。ただし、2つずつある [ す ][ せ ][ そ ][ た ] にはそれぞれ同じものが入る。このとき、2つの $p$ の値に対応する接点を $p$ の値が小さい順に $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2$ とし、$\mathrm{T}_2$ から直線 $\mathrm{OT}_1$ に水線 $\mathrm{T}_2\mathrm{D}$ を引くと、$\mathrm{D}$ の座標は ( [ ち ] / [ つ ], [ て ] + $\sqrt{[ と ]}$ / [ な ], [ に ] / [ ぬ ] ) である。
(4) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面 $\alpha$ との共有部分が円 $R$ となるときを考える。ただし、平面 $\alpha$ が点 $\mathrm{C}$ を通るときを除くとする。このとき、$\mathrm{C}$ を頂点とし円 $R$ を底面とする円すいの体積の最大値は [ ね ][ の ] $\sqrt{[ は ]}$ / [ ひ ][ ふ ] である。

問題文全文(内容文)：
【4】
(1) 関数 $f(x)$ を$f(x) = 3^{3x+1} - 42 \cdot 3^{2x-1} + 3^{x+1} \quad (x \leqq \log_3 4)$とする。$f(x)$ は $x = {\fbox{\quad}}$ のとき、最大値 ${\fbox{\quad}}$、最小値 ${\fbox{\quad}}$ をとる。
(2) $\log_2 10^5$ の整数部分は ${\fbox{\quad}}$ である。$\log_2 10^2$, $\log_2 10^3$, $\log_2 10^5$ の小数部分をそれぞれ $a, b, c$ とするとき、$2a + 7b - 5c = {\fbox{\quad}}$である。

問題文全文(内容文)：
次の漸化式で定義される数列 $a_n$ を考える。$$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = \frac{2a_n}{1 + a_n} \quad (n \geqq 1)$$また、$a_n = \frac{q_n}{p_n}$（$p_n, q_n$ は互いに素な自然数）と表すとき、以下の問いに答えなさい。(1) 数列 $a_n$ の第2項 $a_2$ と第3項 $a_3$ を求めなさい。(2) $n \geqq 2$ のとき、整数列 $p_n - q_n$ の一般項を予想し、その予想が正しいことを数学的帰納法で証明しなさい。(3) $n \geqq 2$ のとき、$q_{n+1}$ を $q_n$ で表し、一般項 $q_n$ を求めなさい。(4) $n \geqq 2$ のとき、数列 $a_n$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。