問題文全文(内容文)：
(1) 関数 $f(x) = \sin^{11} x$ の $-\pi \leqq x \leqq \pi$ における極大値は $x = $ [ア] $\pi$ のとき [イ] であり，極小値は $x = $ [ウ] $\pi$ のとき [エ] である。
また，曲線 $y = f(x)$ の $5$ つある変曲点の $x$ 座標を小さい順に $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ とするとき，
$\sum_{k=1}^{5} \cos^2 \alpha_k = \frac{[\text{オカ}]}{[\text{キク}]}$である。
(2) $0$ 以上の整数 $m, n$ に対して，
$S_{m,n} = \int_{-1}^{1} (1-x)^m (1+x)^n \, dx$
とすると，
$S_{3,1} = \frac{[\text{ケ}]}{[\text{コ}]}$である。
また，$n$ を $1$ 以上の整数とするとき，$S_{m,n}$ を $S_{m+1,n-1}$ を用いて表すと，
$S_{m,n} = \frac{[\text{サ}]}{[\text{シ}]} S_{m+1,n-1}$である。（選択肢略）
また，$S_{5,5} = \frac{[\text{スセソ}]}{[\text{タチツ}]}$である。
(3) (1)において，$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸および直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれる部分の面積は $\frac{[\text{テトナ}]}{[\text{ニヌネ}]}$ である。

問題文全文(内容文)：
原点を $\mathrm{O}$ とする座標空間に3点 $\mathrm{A}(2,2,0)$, $\mathrm{B}(0,2,2)$, $\mathrm{P}(t,t,t)$ がある。線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする球面を $K$ とし、球面 $K$ の中心を $\mathrm{C}$ とする。ただし、$t$ は正の実数とする。
(1) $\vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OB}} =$ [ あ ] である。また、球面 $K$ の方程式は$$x^2 + y^2 + z^2 - [ い ]x - [ う ]y - [ え ]z + [ お ] = 0$$である。
(2) 直線 $\mathrm{OP}$ と球面 $K$ の共有点を $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$ とし、$\mathrm{OP}_1 < \mathrm{OP}_2$ とする。$\mathrm{P}_1$ の $x$ 座標は [ か ] / [ き ] であり、$\mathrm{P}_2$ の $x$ 座標は [ く ] である。このとき、三角形 $\mathrm{CP}_1\mathrm{P}_2$ の面積は [ け ][ こ ] $\sqrt{[ さ ]}$ / [ し ] である。
(3) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面が球面 $K$ と接するとき、接点の座標を $(p,q,r)$ とすると、$p = [ す ] \mp [ せ ] \sqrt{[ そ ]} / [ た ]$ である。ただし、2つずつある [ す ][ せ ][ そ ][ た ] にはそれぞれ同じものが入る。このとき、2つの $p$ の値に対応する接点を $p$ の値が小さい順に $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2$ とし、$\mathrm{T}_2$ から直線 $\mathrm{OT}_1$ に水線 $\mathrm{T}_2\mathrm{D}$ を引くと、$\mathrm{D}$ の座標は ( [ ち ] / [ つ ], [ て ] + $\sqrt{[ と ]}$ / [ な ], [ に ] / [ ぬ ] ) である。
(4) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面 $\alpha$ との共有部分が円 $R$ となるときを考える。ただし、平面 $\alpha$ が点 $\mathrm{C}$ を通るときを除くとする。このとき、$\mathrm{C}$ を頂点とし円 $R$ を底面とする円すいの体積の最大値は [ ね ][ の ] $\sqrt{[ は ]}$ / [ ひ ][ ふ ] である。

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【4】
(1) 関数 $f(x)$ を$f(x) = 3^{3x+1} - 42 \cdot 3^{2x-1} + 3^{x+1} \quad (x \leqq \log_3 4)$とする。$f(x)$ は $x = {\fbox{\quad}}$ のとき、最大値 ${\fbox{\quad}}$、最小値 ${\fbox{\quad}}$ をとる。
(2) $\log_2 10^5$ の整数部分は ${\fbox{\quad}}$ である。$\log_2 10^2$, $\log_2 10^3$, $\log_2 10^5$ の小数部分をそれぞれ $a, b, c$ とするとき、$2a + 7b - 5c = {\fbox{\quad}}$である。

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次の漸化式で定義される数列 $a_n$ を考える。$$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = \frac{2a_n}{1 + a_n} \quad (n \geqq 1)$$また、$a_n = \frac{q_n}{p_n}$（$p_n, q_n$ は互いに素な自然数）と表すとき、以下の問いに答えなさい。(1) 数列 $a_n$ の第2項 $a_2$ と第3項 $a_3$ を求めなさい。(2) $n \geqq 2$ のとき、整数列 $p_n - q_n$ の一般項を予想し、その予想が正しいことを数学的帰納法で証明しなさい。(3) $n \geqq 2$ のとき、$q_{n+1}$ を $q_n$ で表し、一般項 $q_n$ を求めなさい。(4) $n \geqq 2$ のとき、数列 $a_n$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。

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$\theta$ を $0 < \theta < \pi$ を満たす実数とし、関数 $f(x) = \log_{\sin\theta} x \quad (x > 0)$ を考える。
(1) $\theta = \frac{5}{6}\pi$ とするとき、$f(1) =$ [ ア ], $f(4) =$ [ イ ] である。$x > 0$ のとき、関数 $f(2x^2+1) - f(4x^4+12x^2+9)$ は $x = \frac{\sqrt{[\text{ウ}]}}{[\text{エ}]}$ のとき、最小値 [ オ ] をとる。
(2) $\theta = \frac{5}{4}\pi$ とするとき、$f(x) = [\text{カキ}] \log_2 x$ であり、$\sqrt[3]{-f(16)} \cdot f(8) =$ [ クケ ] である。$x$ の不等式 $2\{f(x)\}^2 + 9f(x) - 5 > 0$ を満たす最小の自然数 $x$ は $x = [\text{コ}]$ である。
(3) 原点を $\text{O}$ とする座標平面で、$y = \vert{}f(x)\vert{}$ のグラフ上に3点を取り、$y$ 軸に近い方から順に $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ とする。3点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ は一直線上に並んでおり、$\text{A}, \text{B}, \text{C}$ から $x$ 軸に水線を引き交点をそれぞれ $\text{A}', \text{B}', \text{C}'$ とするとき、$\text{OA}' : \text{A}'\text{B}' : \text{B}'\text{C}' = 1 : 1 : 1$ である。このとき、点 $\text{C}'$ の $x$ 座標は $\frac{[\text{サ}]\sqrt{[\text{シ}]}}{[\text{ス}]}$ である。また、四角形 $\text{AA}'\text{C}'\text{C}$ の面積が $\sqrt{3}$ のとき、$\sin^2 2\theta = \frac{[\text{セソ}]}{[\text{タチ}]}$ である。

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(1) 5 個の $\text{A}$、2 個の $\text{B}$、1 個の $\text{C}$ の 8 個の文字をすべて使って作成できる文字列の総数は $\text{[ ]}$ 個である。
(2) 関数 $y = 8^x - 3 \cdot 2^{2x+3} + 2$ の最小値を与える $x$ の値は $x = \text{[ ]}$ である。
(3) $\text{AB} = 8$, $\text{BC} = 5$, $\text{CA} = 7$ である $\triangle \text{ABC}$ の内心を $\text{I}$ とし、直線 $\text{CI}$ と 辺 $\text{AB}$ の交点を $\text{D}$ とする。$\triangle \text{ADI}$ の面積は $\triangle \text{ABC}$ の面積の $\text{[ ]}$ 倍である。
(4) 定積分 $\int_{-1}^{2} (x+2)(x-3) \, dx = \text{[ ]}$ である。
(5) 4 つの鋭角 $A, B, C, D$ が $\cos A = \cos B \cos C$ および $\sin B = \sin A \sin D$ を満たしている。このとき、$\sin C \tan D$ を $B$ のみを用いて表すと $\sin C \tan D = \text{[ ]}$ であり、$\tan A \cos D$ を $C$ のみを用いて表すと $\tan A \cos D = \text{[ ]}$ である。
(6) $n$ を自然数とする。$\sqrt{n^2 + 63}$ が自然数となるような $n$ の個数は $\text{[ ]}$ 個である。
(7) 方程式 $\log_{2023}(11 - 2x) + \log_{\frac{1}{2023}}(1 - x^2) = \log_{2023}(x + 2) - \log_{2023}(x + 1)$ の解は $x = \text{[ ]}$ である。

問題文全文(内容文)：
2点 \((x, y)\) が不等式 \(x^2 + (y-1)^2 \le 1\) の表す領域を動くとき、
\(\frac{x+y-3}{3x-y-1}\) の最大値、\(\frac{xy-1}{x}\) の最大値、および
\(\frac{y^2-2y-3}{x^2-6x+9}\) の最大値を求めよ。

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正の整数 $n$ に対して、$n$ の正の約数の個数を $f(n)$ とする。例えば $12$ の正の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ の $6$ 個であるから $f(12) = 6$ である。
(1) $f(5040) = [\text{シ}]$ である。
(2) $f(k) = 15$ を満たす正の整数 $k$ のうち、2番目に小さいものは $[\text{ス}]$ である。
(3) 大小2つのサイコロを投げるとき、出る目の積を $L$ とする。$f(L) = 4$ となる確率は $[\text{セ}]$ である。
(4) 正の整数 $m$ と $n$ は互いに素で、等式 $f(mn) = 3f(m) + 5f(n) - 13$ を満たすとする。このとき、$mn$ を最小にする $m$ と $n$ の組 $(m, n)$ は $[\text{ソ}]$ である。

問題文全文(内容文)：
正の整数 $n$ に対して $a_n = \alpha^n + \beta^n$ （ただし $\alpha = 3 + \sqrt{10},\, \beta = 3 - \sqrt{10}$）と置く。
(1) $a_2, a_3$ の値をそれぞれ求めよ。
(2) $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表せ。
(3) $\alpha^{111}$ の整数部分を $K$ とするとき、$K$ を $10$ で割った余りを求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1(1)放物線 $y = 2x^2 - 3x + 4$ に点 $(1, -\frac{1}{8})$ から引いた接線の接点のうち、$x$ 座標が正である接点は $(\text{あ}, \text{い})$ である。
大問1(2)3次関数 $f(x)$ はある実数 $p \neq 0$ に対して $f'(p) = f'(2p) = 3p^2$ と $f(p) = f(2p) = 0$ を満たすとする。このとき $f'(p + 1) = a p^2 + b p + c$ と表すことができ、$a = \text{う}$, $b = \text{え}$, $c = \text{お}$ である。

問題文全文(内容文)：
3つのサイコロと1つのコインを投げて決まる値から，対数 $L = \log_{A+K}(BC)$ を定義する。
(1) $L$ の値を超えない最大の整数を求めよ。
(2) $L$ の値が最小になるときの値とその確率を求めよ。
(3) $L$ の値が自然数となる確率を求めよ。
(4) $L$ の値が $3 \leqq L \leqq 4$ となる確率を求めよ。
(5) $L$ の値が $0.5$ を超える確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a$を定数とする。直線$y=x+a \cdots\cdots$①と円$x^2+y^2=4 \cdots\cdots$②が異なる2点で交わり、
この2点と原点Oを頂点とする三角形が正三角形であるとき、$a$の値は$\pm\sqrt{\fbox{タ}}$である。

②と直線$y=x+\sqrt{\fbox{タ}}$の交点をA, B、②と直線$y=x-\sqrt{\fbox{タ}}$の交点をC, Dとする。ただし、Aの$x$座標はBの$x$座標より大きく、Dの$x$座標はCの$x$座標より大きいとする。このとき、Aの座標は
$$ \left( \frac{\sqrt{\fbox{チ}}-\sqrt{\fbox{ツ}}}{\fbox{テ}}, \frac{\sqrt{\fbox{ト}}+\sqrt{\fbox{ナ}}}{\fbox{ニ}} \right), $$
ADの長さは$\fbox{ヌ}\sqrt{\fbox{ネ}}$、四角形ABCDの面積は$\fbox{ノ}\sqrt{\fbox{ハ}}$である。ただし、$\fbox{ト}<\fbox{ナ}$とする。次に、①と平行で$y$切片が正である直線が②と接するとき、
この直線の方程式は$y=x+\fbox{ヒ}\sqrt{\fbox{フ}} \cdots\cdots$③である。さらに、③と直線OA, OBの交点をそれぞれ$\text{A}^\prime, \text{B}^\prime$とするとき、$\triangle\text{OA}^\prime\text{B}^\prime$の面積は$\frac{\fbox{ヘ}\sqrt{\fbox{ホ}}}{\fbox{マ}}$である。

問題文全文(内容文)：
大問3
座標平面上の長方形の領域において、$n$ を $2$ 桁以上の自然数の定数とし、$d$ を $1 \leqq d \leqq n$ の実数値をとる変数とする。
領域 $0 \leqq x \leqq d, \ 0 \leqq y \leqq n + \dfrac{1}{2} - d$ 内にあり、$x, y$ がともに自然数である点（格子点）の個数を $M(d)$ とする。
問1$n = 10$ のとき、$M(1) = \fbox{ 15 }$, $\quad M\left(\dfrac{3}{2}\right) = \fbox{ 16 }$, $\quad M(2) = \fbox{ 17 }$
であり、$\displaystyle\lim_{d \to \frac{3}{2} + 0} M(d) = \fbox{ 18 }$
である。
問2$k$ を $n-1$ 以下の自然数とする。$k \leqq d < k + \dfrac{1}{2}$ のとき、$M(d) = \fbox{ 19 }$ であり、$k + \dfrac{1}{2} \leqq d < k + 1$ のとき、$M(d) = \fbox{ 20 }$ である。
問3$n = 17$ のとき、$M(d)$ の最大値は $\fbox{ 21 } \fbox{ 22 }$である。

問題文全文(内容文)：
大問4$4$ 枚のコインを同時に投げて表が出たコインの枚数を数えることを $4$ 回繰り返した。問1$4$ 回すべてで表が出たコインの枚数が $2$ 以上になる確率は $\dfrac{\fbox{ 22 }}{\fbox{ 23 }}$ である。問2$4$ 回の中で表が出たコインの枚数の最小値が $2$ である確率は $\dfrac{\fbox{ 24 }}{\fbox{ 25 }}$ である。問3$4$ 回の中で表が出たコインの枚数の最小値が $2$、最大値が $4$ である確率は $\dfrac{\fbox{ 26 }}{\fbox{ 27 }}$ である。

問題文全文(内容文)：
大問2
$I = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left( \frac{\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin x} \right) dx$ とおく。
問1$x + \frac{\pi}{4} = \pi - \theta$ とおくと、$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \right) dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \log ( \fbox{ 10 } ) dx$$となる。$\fbox{ 10 }$ に当てはまるものを選択肢から選べ。
問2
任意の実数 $x$ に対して、$$\sin x + \cos x = \sqrt{\fbox{ 11 }} \sin\left(x + \frac{\pi}{\fbox{ 12 }}\right)$$が成り立つ。
問3
問1, 問2の結果を利用すると、定積分 $I$ の値は、$$I = \frac{\pi}{\fbox{ 13 }} \log \fbox{ 14 }$$である。

問題文全文(内容文)：
大問1問1$a, b, p$ は正の定数とする。$y=f(x)=ax^2-px+b$ のグラフが $2$ 点 $(3, 11)$, $(-3, 35)$ を通るとき、$p = \fbox{ 1 }$ である。さらに、$-1 \leqq x \leqq 2$ における $f(x)$ の最大値が $11$、最小値が $3$ であるとき、$a = \fbox{ 2 }$, $b = \fbox{ 3 }$ である。問2平面上の $\triangle \text{ABC}$ において、辺 $\text{AB}$ を $m : n$ に外分する点を $\text{P}$、辺 $\text{BC}$ を $2 : 5$ に内分する点を $\text{Q}$、辺 $\text{CA}$ を $3 : 1$ に内分する点を $\text{R}$ とする。$3$ 点 $\text{P}, \text{Q}, \text{R}$ が一直線上にあるとき、$\dfrac{m}{n} = \fbox{ 4 }$ であり、$\text{PQ} : \text{PR} = 8 : \fbox{ 5 }$ である。

問題文全文(内容文)：
大問4(1) 「SHOWA」という $5$ 文字すべてを並べてできる順列の総数を求めよ。(2) 「https SHOWA」という $10$ 文字すべてを並べてできる順列について、次の問いに答えよ。順列の総数を求めよ。「$\text{SS}$」という並びと「$\text{TT}$」という並びをともに含む順列は全部でいくつあるか。「$\text{SHSH}$」という並びを含まない順列は全部でいくつあるか。「$\text{ST}$」という並び、または「$\text{TS}$」という並びの少なくとも一方を含む順列は全部でいくつあるか。

問題文全文(内容文)：
$xy$ 平面において、原点 O$(0, 0)$ を出発し $y$ 軸上を正の向きに速さ $1$ で動く点 P と、点 $(1, 0)$ を出発し単位円周上を反時計回りに速さ $\frac{\pi}{2}$ で動く点 Q がある。点 P が出発してから $t$ 秒後の点 P の座標を $(0, t)$ とする。以下の問いに答えよ。ただし、$0 < t < 1$ とする。(1) 点 Q の座標および、直線 PQ と直線 $x = -1$ の交点 R の座標を $t$ を用いて表せ。(2) $t$ が $0$ から $1$ に近づくとき、点 R はどのような点に近づくか。

問題文全文(内容文)：
$\triangle \text{OAB}$ において、$\text{OA} = 2$, $\text{OB} = \sqrt{5}$, $\text{AB} = \sqrt{3}$ とし、$\vec{a} = \vec{\text{OA}}$, $\vec{b} = \vec{\text{OB}}$ とする。(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。(2) $\triangle \text{OAB}$ の垂心を $\text{H}$ とするとき、$\vec{\text{OH}}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。(3) 線分 $\text{OH}$ を延長し、線分 $\text{AB}$ との交点を $\text{D}$ とする。(a) $\text{AD}$ の長さ $L_1$ を求めよ。(b) $\text{OD}$ の長さ $L_2$ を求めよ。(4) $\triangle \text{OAB}$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。(5) $\triangle \text{OAB}$ の外心 $\text{G}$ について、$\vec{\text{OG}}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
$xy$ 平面上で、直線 $y = \frac{3}{4}x$ を (1) とし、第1象限内かつ直線 (1) 上に存在し原点 $\mathrm{O}(0, 0)$ からの距離が $5$ である点を $\mathrm{A}$ とする。また、軸が $y$ 軸に平行で点 $\mathrm{A}$ を通り、原点 $\mathrm{O}$ で (1) と交わる放物線を (2) とする。ただし、放物線 (2) の原点 $\mathrm{O}$ における接線は直線 (1) と直交する。さらに、放物線 (2) 上で $\mathrm{O}, \mathrm{A}$ 間に存在し、$x$ 座標が $p$ である点を $\mathrm{P}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通り直線 (1) と直交する直線と、直線 (1) との交点を $\mathrm{B}$ とする。$\mathrm{PB}$ の長さを $H$、線分 $\mathrm{OB}$ の長さを $T$ とするとき、以下の問いに答えよ。(1) 点 $\mathrm{A}$ の座標を求めよ。(2) 放物線 (2) の方程式を $x, y$ を用いて表せ。(3) $H$ を $p$ を用いて表せ。(4) $T$ を $p$ を用いて表せ。(5) 直線 (1) と放物線 (2) で囲まれる範囲について、直線 (1) を軸として回転したときにできる立体の上側の体積 $V$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$I_n = \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{n}{2}} \, dx$ について、次の問いに答えよ。ただし、$n$ は正の整数とする。(1) $I_1$ を求めよ。(2) $I_n$ と $I_{n+2}$ の間に成り立つ関係式を求めよ。(3) $I_5$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。ただし、答えは結果のみを解答欄に記入せよ。(1) $1$ から $n$ までの自然数を重複なく $1$ 枚に $1$ つずつ記した $n$ 枚のカードを用意した。 $n$ 枚のカードから同時に $2$ 枚のカードを選ぶ。カードに記された数字の和が $n+1$ より小さい場合が何通りあるか調べたい。$n=8$ のときは何通りあるか。$n=9$ のときは何通りあるか。$n$ が偶数のとき何通りあるか。$n$ が奇数のとき何通りあるか。(2) $p$ は自然数とする（ $p < n$ ）。 $n$ 枚のカードから $p$ と $p+1$ が記された計 $2$ 枚のカードを抜き出した。残ったカードに記された自然数をすべて合計すると $2023$ となった。このときの自然数 $p$ と $n$ とを求めよ。

問題文全文(内容文)：
$8$ の $6$ 乗根のうち、実部が正で虚部が負である複素数を $z$ とする。
このとき、$z =$ [ あ ] であり、$z + z^5 =$ [ い ] である。
複素数平面において、点 $z$ を中心とする円 $C$ が実軸と $2$ 点 $\alpha, \beta$ で交わり、$\vert{}\alpha - \beta\vert{} = \sqrt{30}$ を満たしている。
このとき、円 $C$ の半径 $R$ は $R =$ [ う ] である。
また、円 $C$ の内部にある複素数のうち、実部、虚部ともに $0$ 以上の整数であるものの個数は [ え ] 個である。

問題文全文(内容文)：
(1)$x, y, z$ は正の整数で、$\frac{1}{x} - \frac{y}{8} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4}$および $x \geqq z \geqq 2$ を満たす $x, y, z$ の組は [ あ ] 組ある。そのうち $x + y + z$ の最大値は [ い ] であり、そのときの $x$ は [ う ] である。(2)$y \leqq -2x + 6, \quad y \leqq x + 3$を満たし、点 $(1, 4)$ からの距離が $5$ 以下の範囲にあって、さらに $x$ 座標と $y$ 座標が共に整数となる点 $(x, y)$ は [ え ] 個ある。
また、それらの点 $(x, y)$ について$(x + y)\log_{10} 3 - y\log_{10} 2$を計算したとき、その最大値は $\log_{10}$ [ お ] である。

問題文全文(内容文)：
大問2(1)$a_n = \sin \frac{n\pi}{6}$, $b_n = \cos \frac{n\pi}{3}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} (a_n + b_n) = \frac{1}{2}($ア$)$ であり、$\displaystyle \sum_{n=1}^{250} a_n b_n =$ イ である。また、 $x$ に関する $2$ 次方程式 $2x^2 - 4a_n x - 3b_n = 0$ が負の重解を持つための最小の $n$ の値を $n_0$ とすると、 $n_0 =$ ウ である。

問題文全文(内容文)：
大問2(2)数直線上の原点 $O(0)$ に動点 $P$ がある。この動点 $P$ は $1$ 個のサイコロを投げたときに出た目に従って、次の規則で動くものとする。サイコロを $3$ 回投げる。第 $1$ 回目に出た目の数だけ正の方向に動き、その位置から第 $2$ 回目に出た目の数だけ負の方向に動き、その位置から第 $3$ 回目に出た目の数だけ再び正の方向に動いて止まる。このとき、最後の位置が $+3$ になる確率はエである。大問2(3)$1$ 個のサイコロを $4$ 回投げ、その出た目の数を順に $a, b, c, d$ とする。このとき、$a \times b = c \times d$となる確率はオである。

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = x^2$ がある。

(1) $a$ を定数とし、放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = ax - a$ が異なる2点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ で交わっている。

[1] $a$ の取り得る値の範囲は
$$ a < \text{アイ}, \quad \text{ウ} < a $$
である。

[2] $a$ が変化するとき、線分 $\mathrm{AB}$ の中点の軌跡は放物線
$$ y = \text{エ}x^2 - \text{オ}x \quad (\text{カ} < x < \text{キ}) $$
の部分である。

[3] 点 $(x, y)$ が [2] で求めた軌跡上を動くとき、
$$ K = \frac{x^2 - y + 8}{x - 1} $$
の取り得る値の範囲は不自由式【ク】で表され、$P = \text{ケコ}$, $Q = \text{サシ}$ である。

問題文全文(内容文)：
原点を $\text{O}$ とし、放物線 $y = f(x)$（ただし $f(x) = x^2$）上の点 $\text{C}(1, 1)$ における接線を $L$ とする。
直線 $\text{OC}$ の上側および直線 $\text{OC}$ 上の点の集合を $D_1$、直線 $L$ の下側および直線 $L$ 上の点の集合を $D_2$ とし、領域 $D$ を $D = D_1 \cap D_2$ とする。

[1] 直線 $L$ の方程式は $y = \text{サ}x - \text{シ}$ である。

[2] $b$ を $0$ 以上の定数とし、点 $(x, y)$ が領域 $D$ を動くとき、$bxy - x + y$ の最小値が $-2$ となるような $b$ の値は [ス] である（選択肢より選択）。
また、$bxy - x + y$ の最小値が $-2$ となるような $x, y$ の値をそれぞれ $\alpha, \beta$ とするとき、$4\alpha^2 - 4\beta$ の値は [セ] である。

問題文全文(内容文)：
2. 次の文章を読み、下の問1〜4に答えなさい。（解答番号 $\boxed{1}$〜$\boxed{5}$）

液体に対する溶解度の小さい気体が一定量の液体に溶ける場合、液体へ溶解する気体の物質量は、温度が一定であれば、その気体の分圧に比例する。酸素は、水に対する溶解度が小さい気体として扱うことができ、水に対する溶解量と温度との関係は次の表のように表すことができる。なお、表中の $T_1$、$T_2$ は $0^\circ\mathrm{C}$ または $40^\circ\mathrm{C}$ のいずれかである。

表　$1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}$ の酸素が水 $1.0\,\mathrm{L}$ に接したときの溶解量 [mol]


\[
\begin{array}{c|c}
\text{温度}[\mathrm{^\circ C}] & \text{溶解量}[\mathrm{mol}]\\
\hline
T_1 & 2.2\times10^{-3}\\
20 & 1.4\times10^{-3}\\
T_2 & 1.0\times10^{-3}
\end{array}
\]

問1　文中の下線部について、この法則の名称として最も適切なものを、次の①〜⑥のうちから一つ選びなさい。 $\boxed{1}$

① アボガドロの法則　　② シャルルの法則　　③ ヘスの法則

④ ファントホッフの法則　　⑤ ヘンリーの法則　　⑥ ボイルの法則

問2　気体の水への溶解度と温度について、一般に、温度を高くすると $\boxed{\text{ア}}$ ため、気体の水への溶解度は $\boxed{\text{イ}}$することが知られている。よって、表中の $T_1$、$T_2$ のうち $0^\circ\mathrm{C}$ にあたるのは $\boxed{\text{ウ}}$ であると考えられる。

文中の空欄 $\boxed{\text{ア}}$～$\boxed{\text{ウ}}$ に入る記述や語句の組合せとして最も適切なものを、次の①〜⑧のうちから一つ選びなさい。 $\boxed{2}$

\[
\begin{array}{c|c|c|c}
& \boxed{\text{ア}} & \boxed{\text{イ}} & \boxed{\text{ウ}}\\
\hline
① & \text{気体分子の熱運動が激しくなる} & \text{増加} & T_1\\
② & \text{気体分子の熱運動が激しくなる} & \text{増加} & T_2\\
③ & \text{気体分子の熱運動が激しくなる} & \text{減少} & T_1\\
④ & \text{気体分子の熱運動が激しくなる} & \text{減少} & T_2\\
⑤ & \text{気体分子と水分子の間の分子間力が強くなる} & \text{増加} & T_1\\
⑥ & \text{気体分子と水分子の間の分子間力が強くなる} & \text{増加} & T_2\\
⑦ & \text{気体分子と水分子の間の分子間力が強くなる} & \text{減少} & T_1\\
⑧ & \text{気体分子と水分子の間の分子間力が強くなる} & \text{減少} & T_2
\end{array}
\]

問3　$20^\circ\mathrm{C}$、$1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}$ の空気と接している水 $2.0\,\mathrm{L}$ に溶けている酸素の質量 $\left[\mathrm{mg}\right]$ として最も適切なものを、次の①〜⑨のうちから一つ選びなさい。ただし、空気中の酸素のモル分率は $0.20$ とする。 $\boxed{3}$mg

① $18$　　② $22$　　③ $45$

④ $56$　　⑤ $67$　　⑥ $72$

⑦ $88$　　⑧ $90$　　⑨ $1.8\times10^2$

問4　次の図に示すように、滑らかに動き、質量が無視できるピストンが付いた容器に、十分に気体を取り除いた水 $5.0\times10^{2}\,\mathrm{mL}$ と酸素 $5.0\times10^{-3}\,\mathrm{mol}$ を入れた。この容器を温度および圧力を自由に調節できる装置に入れて、装置内の温度と圧力を $0^\circ\mathrm{C}$、$1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}$ に保ったところ、溶解平衡状態に達し、ピストンの移動が止まった。なお、酸素は理想気体としてふるまい、水の蒸気圧、体積変化及び凝固は無視できるものとする。次の (1)、(2) に答えなさい。（図は動画内参照）

(1) 溶解平衡時において、水に溶解していない酸素の体積 $\left[\mathrm{mL}\right]$ の値として最も適切なものを、次の①〜⑨のうちから一つ選びなさい。 $\boxed{4}$mL

① $16$　　② $25$　　③ $50$

④ $64$　　⑤ $81$　　⑥ $88$

⑦ $1.0\times10^2$　　⑧ $1.1\times10^2$　　⑨ $1.2\times10^2$

(2) さらに、装置内の温度と圧力を $40^\circ\mathrm{C}$、$1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}$ に保ったところ、新たな溶解平衡状態に達し、ピストンが停止した。この溶解平衡状態において、水に溶解していない酸素の体積 $\left[\mathrm{mL}\right]$ を $V_5$、(1) で求めた水に溶解していない酸素の体積を $V_4$ とするとき、$\dfrac{V_5}{V_4}$ の値として最も適切なものを、次の①〜⑧のうちから一つ選びなさい。 $\boxed{5}$

① $0.70$　　② $0.90$　　③ $1.1$

④ $1.3$　　⑤ $1.5$　　⑥ $1.7$

⑦ $1.9$　　⑧ $2.1$

問題文全文(内容文)：
$i$ を虚数単位とし、複素数 $z = \cos\dfrac{2\pi}{5} + i\sin\dfrac{2\pi}{5}$ を考える。

$w = z + z^3$ とし、$w$ と共役な複素数を $\bar{w}$ で表す。

(1) $w + \bar{w} = \fbox{ア}$ である。

(2)(3) $w\bar{w}$ の実部は $\fbox{イ}$ であり、虚部は $\fbox{ウ}$ である。

(4) $z^2$ と $z^3$ を焦点とし、焦点からの距離の差の大きさが $z^2$ の虚部で定まる双曲線を考える。この双曲線の漸近線の傾きの絶対値は $\fbox{エ}$ である。