20年5月数学検定1級1次試験（行列）

問題文全文(内容文)：
①

A x

λ x

(

x \neq 0

)
λをAの固有値

x

をλに関する固有ベクトル

A x

λ x

\emptyset

(A - λ E) x = \emptyset

det(A-λE) =0

∵ d e t (A - λ E) \neq 0

\Rightarrow

x = \emptyset

となり矛盾する。

②A:3×3のケーリーハミルトンの定理

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{array}

とする

A^{3} - (a_{11} + a_{22} + a_{33}) A + C A - (d e t A) E = \emptyset

C = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} + a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} + a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{cccc} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}) \end{array}

(1)Aの固有値を求めよ。
(2)

A^{3} - g A^{2} + 18 A - 12 E

を求めよ

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#数学検定#数学検定1級

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
①

A x

λ x

(

x \neq 0

)
λをAの固有値

x

をλに関する固有ベクトル

A x

λ x

\emptyset

(A - λ E) x = \emptyset

det(A-λE) =0

∵ d e t (A - λ E) \neq 0

\Rightarrow

x = \emptyset

となり矛盾する。

②A:3×3のケーリーハミルトンの定理

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{array}

とする

A^{3} - (a_{11} + a_{22} + a_{33}) A + C A - (d e t A) E = \emptyset

C = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} + a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} + a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{cccc} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}) \end{array}

(1)Aの固有値を求めよ。
(2)

A^{3} - g A^{2} + 18 A - 12 E

を求めよ

投稿日：2020.06.12

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問題文全文(内容文)：
極限値

lim_{x \to \infty}

{

\sqrt{x^{2} + 3 x - 1} - \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1}

}

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問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\infty} e - x^{2} d x = \frac{\sqrt{x}}{2}

(1)

\int_{1}^{\infty} e^{- (x - 1)^{2}} d x

(2)

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x

(3)

\frac{1}{σ \sqrt{2 x}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d x

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問題文全文(内容文)：

\tan^{- 1} 1 + \tan^{- 1} 2 + \tan^{- 1} 3

の値を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

x=sinθ

y = - l o g t a n \frac{θ}{2} - c o s θ

θ = \frac{π}{3}

における

\frac{d y}{d x^{2}}

を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{- 1}^{1} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} d x

を計算せよ。

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