問題文全文(内容文)：
第5問
三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、$\angle$PAB=$\angle$PACとし、この角度をθをおく。0°＜ θ ＜ 90°とする。
(1)$\overrightarrow{AM}$は
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\overrightarrow{AB}$+$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}\overrightarrow{AC}$
と表せる。また
$\frac{\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|}$=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$　　...①
$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪$\sin \theta$　①$\cos \theta$　②$\tan \theta$　
③$\frac{1}{\sin \theta}$　④$\frac{1}{\cos \theta}$　⑤$\frac{1}{\tan \theta}$　
⑥$\sin\angle$BPC　⑦$\cos\angle$BPC　⑧$\tan\angle$BPC
(2)θ=45°とし、さらに
$|\overrightarrow{AP}|$=3√2,　$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{PB}|$=3,　$|\overrightarrow{AC}|$=$|\overrightarrow{PC}|$=3
が成り立つ場合を考える。このとき
$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$
である。さらに、直線AM上の点Dが$\angle$APD=90°を満たしているとする。このとき、$\overrightarrow{AD}$=$\boxed{\ \ キ\ \ }\overrightarrow{AM}$である。
(3)
$\overrightarrow{AQ}$=$\boxed{\ \ キ\ \ }\overrightarrow{AM}$
で定まる点をQとおく。$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
(i)$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であるとき、$\overrightarrow{PQ}$を$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AP}$を用いて表して考えると、$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$が成り立つ。さらに①に注意すると、$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$から$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立つことがわかる。
したがって、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であれば、$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立つ。逆に、$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立てば、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$の解答群
⓪$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AP}$
①$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AP}$
②$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$
③$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$
④$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=0
⑤$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=0
$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$の解答群
⓪$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{BC}|$
①$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$2|\overrightarrow{BC}|$
②$|\overrightarrow{AB}|\sin\theta$+$|\overrightarrow{AC}|\sin\theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
③$|\overrightarrow{AB}|\cos\theta$+$|\overrightarrow{AC}|\cos\theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
④$|\overrightarrow{AB}|\sin\theta$=$|\overrightarrow{AC}|\sin\theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
⑤$|\overrightarrow{AB}|\cos\theta$=$|\overrightarrow{AC}|\cos\theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
(ii)kを正の実数とし
$k\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$
が成り立つとする。このとき、$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をB'とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をC'とする。
このとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$であることと同値である。特にk=1のとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$であることと同値である。
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$の解答群
⓪$k|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$　①$|\overrightarrow{AB}|$=$k|\overrightarrow{AC}|$　
②$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{AB}|$　③$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{AC}|$
$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪B'とC'がともに線分APの中点
①B'とC'が線分APをそれぞれ(k+1):1と1:(k+1)に内分する点
②B'とC'が線分APをそれぞれ1:(k+1)と(k+1):1に内分する点
③B'とC'が線分APをそれぞれk:1と1:kに内分する点
④B'とC'が線分APをそれぞれ1:kとk:1に内分する点
⑤B'とC'がともに線分APをk:1に内分する点
⑥B'とC'がともに線分APを1:kに内分する点
$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$の解答群
⓪$\triangle$PABと$\triangle$PACがともに正三角形
①$\triangle$PABと$\triangle$PACがそれぞれ$\angle$PBA=90°, $\angle$PCA=90°を満たす直角二等辺三角形
②$\triangle$PABと$\triangle$PACがそれぞれBP=BA, CP=CAを満たす二等辺三角形
③$\triangle$PABと$\triangle$PACが合同
④AP=BC

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$\vec{a}=(3, \, 4, \, 0)$ と $\vec{b}=(0, \, x, \, -\sqrt{7})$ のなす角が $45^{\circ}$ であるとき、$x$ の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
四面体OABCにおいて、OA=OB、
OC⊥ABとする。
(1) AC=BCであることを証明せよ
(2) 三角形ABCの重心をGとするとき、OG⊥ABであることを証明せよ

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標空間の3点A(3,1,3), B(4,2,2), C(4,0,1)の定める平面を$H$とする。
また、
$\overrightarrow{AP}$=$s\overrightarrow{AB}$+$t\overrightarrow{AC}$　($s$, $t$は非負の実数)
を満たすすべての点Pからなる領域を$K$とする。
(1)内積$\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}・\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$を求めよ。
(2)原点O(0,0,0)から平面$H$に下ろした垂線の足をQとする。$\overrightarrow{AQ}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で表せ。
(3)領域$K$上の点Pに対して、線分QP上の点で$\overrightarrow{AR}$=$r\overrightarrow{AC}$　($r$は非負の実数)を満たす点Rが存在することを示せ。
(4)領域$K$において原点Oからの距離が最小となる点Sの座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\ell:x+1=\dfrac{y-1}{a}=z$,
$\ell_2;-x+1=y+b=\dfrac{z-1}{2}$
は交わり,なす角は$60°$であるとする.
このとき,$a,b$の値を求めよ.