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次の問題
問題
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が
終了する確率 $p_n$を求めよ。
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解の$p_n$とで値が異なるとき、値が異なる最小のnを
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは
「すべて一致する」と答えよ。

答案A
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために
必要な回数がk回($k\geqq 0$)である確率を$p_n(k)$とする。このとき、
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は
$p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1$
である。また、$p_n(0)=p_n,p_{n+1}(0)=\frac{1}{2}{p}_n(1),p_{n+2}(0)=\frac{1}{4}{p}_n(2)$であるから漸化式
$p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1 (n\geqq 1)$
を得る。ここで$\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1$なので、$q_n=2^n(p_n-\frac{1}{7})$とすれば
$q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0$
である。よって$n\geqq 4$に対して
$q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}$
が成立する。以上より、
$Q(x)=\{\begin{array}{}{q}_1 (n\mathrm{を}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{時}\mathrm{の}\mathrm{余}\mathrm{り}\mathrm{が}1\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き})\\ q_2 (n\mathrm{を}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{時}\mathrm{の}\mathrm{余}\mathrm{り}\mathrm{が}2\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き})\\ q_3 (n\mathrm{が}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{り}\mathrm{切}\mathrm{れ}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{き})\end{array}$
とすれば求める確率は
$p_n=\frac{q_n}{2^n}+\frac{1}{7}=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7} (n\geqq 4)$
である。また最初の2項は定義より$p_1=p_2=0$であり$p_n$の漸化式で$n=1$とすれば
$p_1+2p_2+4p_3=1$　であるから$p_3=\frac{1}{4}$である。さらに
$q_1=-\frac{2}{7}, q_2=-\frac{4}{7}, q_3=\frac{6}{7}$
である。したがって
$p_1=p_2=0, p_3=\frac{1}{4}, p_n=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7} (n\geqq 4)$
となる。

2022浜松医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$3a_n-2S_n=3^n$
$(S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n)$

問題文全文(内容文)：
2023年　佐賀大学　過去問

0,1,2,3のカードから1枚選んでメモをしてもどすのを$n$回くり返し、
選んだカードの和を$S_n$とする。
$S_n$が3で割り切れる確率$p_n$、3で割って1余る確率$q_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2016一橋大学過去問題
硬貨が2枚ある。最初は2枚とも表の状態で置かれている。次の操作をn回行った後、硬貨が2枚とも裏になっている確率を求めよ。
(操作)2枚とも表、又は2枚とも裏のとき、2枚とも投げる。表裏各1枚のときには表の硬貨だけ投げる。

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
${\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_n$}は漸化式
$a_{n+1}=a_n+f(a_n)$
を満たしているものとする。
(i)$a_1\leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_1\leqq a_n\leqq 2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_1\leqq 2$ならば、$a_1$の値によらず${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2}$となる事を証明しなさい。