問題文全文(内容文)：
$ a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\displaystyle \sum_{n=1}^{2019} ia_n,iは虚数単位である.これを解け.$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 実数xに対し、関数f(x)を\hspace{233pt}\\
f(x)=xe^{-x}\hspace{203pt}\\
により定める。座標平面上の曲線C:y=f(x)に関して、次の問(1)~(5)に答えよ。\hspace{7pt}\\
(1)f(x)の導関数f'(x)を求め、f(x)の増減表を書け。ただし、極値も記入すること。\\
(2)f(x)の第2次導関数f''(x)を求め、Cの変曲点の座標を求めよ。\hspace{75pt}\\
(3)Cの変曲点と、座標平面上の原点を通る直線をlとする。\hspace{102pt}\\
Cとlで囲まれた領域の面積Sを求めよ。\hspace{175pt}\\
(4)a,\ b,\ cを定数とし、関数g(x)をg(x)=(ax^2+bx+c)e^{-2x}と定める。\hspace{43pt}\\
g(x)の導関数g'(x)がg'(x)=x^2e^{-2x}を満たすとき、a,\ b,\ cの値を求めよ。\hspace{29pt}\\
(5)Cと(3)で定めたlで囲まれた領域を、x軸の周りに1回転してできる\hspace{61pt}\\
回転体の体積Vを求めよ。\hspace{222pt}
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
$n^2+1,2n^2+3,6n^2+5$がすべて素数となる自然数$n$は$n=1,2$のみであることを示せ。

問題文全文(内容文)：
$\overbrace{ 1111 + \cdots +11}^{3^n桁}は3^nで割り切れるが
3^{n+1}では割り切れないことを示せ.$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　xy平面上の曲線y=x^3をCとする。C上の2点A(-1,-1),　B(1,1)をとる。\\
さらに、C上で原点OとBの間に動点P(t,t^3)(0 \lt t \lt 1)をとる。このとき、\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)直線APとx軸のなす角を\alphaとし、直線PBとx軸のなす角を\betaとするとき、\\
\tan\alpha,\tan\betaをtを用いて表せ。ただし、0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2},\ 0 \lt \beta \lt \frac{\pi}{2}とする。\\
\\
(2)\tan\angle APBをtを用いて表せ。\\
\\
(3)\angle APBを最小にするtの値を求めよ。
\end{eqnarray}