問題文全文(内容文)：
Aさんは1が書かれたカードを1枚、2が書かれたカードを2枚、4が書かれたカードを1枚、計4枚を無作為に横一列に並べて4桁の数Xを作る。Bさんは2が書かれたカードを2枚、3が書かれたカードを2枚、計4枚を無作為に横一列に並べて4桁の数Yを作る。

$$(1)Xが4の倍数となる確率を求めよ。

(2)X \lt Yとなる確率を求めよ。$$

問題文全文(内容文)：
東京大学2021年理系大問1

$C:s^2+ax+b$は放物線$y=x^2$と2つの共有点を持ち、一方の共有点のx座標は
$-1 \lt x \lt 0$を満たし、他方の共有点のx座標は$0 \lt x \lt 1$を満たす。
(1)点$(a,b)$のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2)放物線Cの通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle
\fcolorbox{#000}{ #fff }{3}
整数からなる数列\{a_n\} \ (n=1,2,3,...)を次の規則1、2により定める。
$

$\displaystyle
(規則1)a_1=0 , \ a_2=1である。
$

$
\displaystyle(規則2)k=1,2,3,...について、初項から第2^{k+1}項までに値のそれぞれに1を加え、\\ それらすべてを逆の順序にしたものが第2^k+1項から第2^{k+1}項までの値と定める。
$

$\displaystyle
(1)以上の規則により得られる数列\{ a_n \}において、a_{10}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ア \ \ \ $}であり、a_{16}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$イ \ \ \ $}である。 \\
また第2^k項(k=5,6,7,...)の値は\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ウ \ \ \ $}である。
$

$\displaystyle
(2)a_{518}を求めたい。上記の規則2によれば、1 \leqq i \leqq 2^kを満たすiに対して、 \\
a_iに1を加えた数と第
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$エ \ \ \ $}
項が、等しいと定めている。 \\
実際に、2^b < 518 \leqq 2^{b+1}を満たすような整数bは
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$オ \ \ \ $}
であることに注意すれば、a_{518}=
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$カ \ \ \ $}
である。
$

$\displaystyle
(3)点O_k(k=1,2,3,...)を次のように定める。\\
数列 \{ a_n \}の初項から第2^k項に着目し、a_nを4で割った余りにしたがって、ベクトル\vec{e_n}を
$

$
\vec{e_n}=
\left\{
\begin{array}{l}
(1,0) \quad a_nが4の倍数のとき \\
(0,1) \quad a_nを4で割った余りが1のとき \\
(-1,0) \quad a_nが4で割った余りが2のとき \\
(0,-1) \quad a_nを4で割った余りが3のとき
\end{array}
\right.
$

$
\displaystyle
によって定め、\\
点P_1の位置ベクトルを\overrightarrow{OP_1}=\vec{e_1}+\vec{e_2}とし、\\
点P_k(k=2,3,4,...)の位置ベクトルを\\
\overrightarrow{OP_k}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}+...+\vec{e_{2^k}}とする。\\
たとえば、 \\
\overrightarrow{OP_w}=(1,0)+(0,1)+(-1,0)+(0,1)=(0,2)である。\\
\{a_n\}を定める規則に注目すると、 \\
\overrightarrow{OP_{k+1}} は \overrightarrow{OP_k} の\fcolorbox{#000}{ #fff }{$キ \ \ \ $}倍であり、\\
\angle P_kOP_{k+1}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ク \ \ \ $}である。\\
このことから\\
\overrightarrow{OP_{99}}=(\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ケ \ \ \ $},\fcolorbox{#000}{ #fff }{$コ \ \ \ $})である。
$

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ (1)関数
$y$=$\displaystyle-\frac{\cos3x}{\sin^3x}$　(0＜$x$＜$\pi$)
の増減と極値を調べ、そのグラフの概形を描け。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。
(2)$a$を実数の定数とする。$x$についての方程式
$-\cos3x$=$a\sin^3x$
が$\displaystyle\frac{\pi}{6}$＜$x$＜$\displaystyle\frac{2\pi}{3}$の範囲に実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle \frac{\cos\theta}{2\cos^2(\theta-\displaystyle \frac{\pi}{4})}d\theta$

出典：2013年産業医科大学　入試問題