世界最速!「令和4年度 京都府公立高等学校 前期選抜 第6問」を解いてみた - 質問解決D.B.(データベース)

世界最速!「令和4年度 京都府公立高等学校 前期選抜 第6問」を解いてみた

問題文全文(内容文):
右の図のような、長いす$A$と長いす$B$が
それぞれたくさんある。
長いす$A$には1脚あたり必ず2人座り、
長いす$B$には1脚あたり必ず3人座るものとする。
長いす$A、B$を使用してちょうど$n$人座るとき、
長いす$A、B$の脚数の組み合わせの総数は何通りあるか、
長いす$A$だけ使用する場合と長いす$B$だけ
使用する場合を含めて考える。
たとえば$n=9$のとき、長いす$A$を3脚と
長いす$B$を1脚使用する場合と、
長いす$B$だけを3脚使用する場合があるから
長いす$A、B$の脚数の組み合わせの総数は2 通りである。
次の表は$n=2、3、4、5、6$のときの、
長いす$A、B$の脚数の組み合わせと、
長いす$A、B$の脚数の組み合わせの総数を
まとめたものである。

このとき、次の問い (1)~(3)に答えよ。
ただし、$n$は 2以上の自然数とする。

*図は動画内参照

令和4年度 京都府公立高等学校 前期選抜 第6問
単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
指導講師: いつもの先生
問題文全文(内容文):
右の図のような、長いす$A$と長いす$B$が
それぞれたくさんある。
長いす$A$には1脚あたり必ず2人座り、
長いす$B$には1脚あたり必ず3人座るものとする。
長いす$A、B$を使用してちょうど$n$人座るとき、
長いす$A、B$の脚数の組み合わせの総数は何通りあるか、
長いす$A$だけ使用する場合と長いす$B$だけ
使用する場合を含めて考える。
たとえば$n=9$のとき、長いす$A$を3脚と
長いす$B$を1脚使用する場合と、
長いす$B$だけを3脚使用する場合があるから
長いす$A、B$の脚数の組み合わせの総数は2 通りである。
次の表は$n=2、3、4、5、6$のときの、
長いす$A、B$の脚数の組み合わせと、
長いす$A、B$の脚数の組み合わせの総数を
まとめたものである。

このとき、次の問い (1)~(3)に答えよ。
ただし、$n$は 2以上の自然数とする。

*図は動画内参照

令和4年度 京都府公立高等学校 前期選抜 第6問
投稿日:2022.03.16

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(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を13で割った余りに等しいことを示せ。
(2)$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_6$を求めよ。
(3)以下の3条件を満たす自然数Nをすべて求めよ。
$(\textrm{i})N$を十進法で表示した時6桁となる。
$(\textrm{ii})N$を十進法で表示して、最初と最後の桁の数字を取り除くと
2016となる。
$(\textrm{iii})N$は13で割り切れる。

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