単元：
#数学(中学生)#中1数学#中2数学#正の数・負の数#式の計算（単項式・多項式・式の四則計算）#高校入試過去問(数学)
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医塾の過去問解説チャンネル
問題文全文(内容文)：
次は、SさんとTさんの会話です。これを読んで、下の①、②に答えなさい。
Sさん「九九の表の81個の数を全部たすと、いくつになるか、わかるかな。」
Tさん「順番に全部をたすのはたいへんだから、何か工夫しないと。
まず一の段の9個の数をたすと45で、二の段は9個の数がそれぞれ
一の段の数の2倍になっているから、和も2倍になるね。
同じように考えていくと、九九の表の81個の数全部の和は、
\[
45\times1+45\times2+45\times3+\cdots+45\times8+45\times9
\]
\[
=45\times(1+2+3+\cdots+8+9)
=\boxed{\text{ア}}^{2}
\]
だから、これを計算して $\boxed{\text{イ}}$ になるよ。」
Sさん「正解！」
Tさん「右の表1を見ていて気づいたのだけれど、四隅の1、9、81、9を
たすと100になる。ほかにも、例えば、表2の○で囲まれた、
6と24と56と14も、たすと100になるよ。」
Sさん「表2の4つの○と4つの長方形は、九九の表の中央の「25」を
回転の中心として、$90^\circ$ずつ回転させるとちょうど重なるね。
このような位置関係の、○で囲まれた4つの数の和が100になることを
証明できるかな。」
Tさん「まず、6と24と56と14は、それぞれ、
$2\times3$、$3\times8$、$8\times7$、$7\times2$
と表せるね。和は、
\[
2\times3+3\times8+8\times7+7\times2
\]
\[
=(2\times3+3\times8)+(8\times7+7\times2)
\]
\[
=(2+8)\times3+(8+2)\times7
=10\times3+10\times7
\]
\[
=10\times(3+7)=10\times10=100
\]
たしかに100になったよ。」
Sさん「表2の左上の長方形は縦2マス$\times$横3マスだね。」
Tさん「2と3をうまく使って他の3つの数も表せそう！
例えば、$3\times8$で求められる24は、
\[
3\times(10-2)
\]
と表せるね。」
Sさん「では、4つの数のうちどれか1つの数を$a\times b$と表すとき、
他の3つの数はどう表せるかな？」
Tさん「
$b\times(\boxed{\text{ウ}})$、
$(\boxed{\text{ウ}})\times(\boxed{\text{エ}})$、
$(\boxed{\text{エ}})\times a$
と表せるね。」
Sさん「この4つの数をたすと、たしかに100になるね。」
Tさん「ところで、このような位置関係の4つの数の組は
「6と24と56と14」を含めて、全部で$\boxed{\text{オ}}$組あるね。」
Sさん「そうすると、
$100\times\boxed{\text{オ}}+25$
で、たしかに、九九の表の81個の数全部の和と一致するね！」
\[
\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
1&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
3&3&6&9&12&15&18&21&24&27\\
4&4&8&12&16&20&24&28&32&36\\
5&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\
6&6&12&18&24&30&36&42&48&54\\
7&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
8&8&16&24&32&40&48&56&64&72\\
9&9&18&27&36&45&54&63&72&81
\end{array}
\qquad \text{表1}
\]
\[
\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
1&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&2&4&\bigcirc 6&8&10&12&14&16&18\\
3&3&6&9&12&15&18&21&\bigcirc 24&27\\
4&4&8&12&16&20&24&28&32&36\\
5&5&10&15&20&\boxed{25}&30&35&40&45\\
6&6&12&18&24&30&36&42&48&54\\
7&7&\bigcirc 14&21&28&35&42&49&56&63\\
8&8&16&24&32&40&48&\bigcirc 56&64&72\\
9&9&18&27&36&45&54&63&72&81
\end{array}
\qquad \text{表2}
\]
① $\boxed{\text{ア}}$、$\boxed{\text{イ}}$にあてはまる数を
それぞれ求めなさい。
② $\boxed{\text{ウ}}$、$\boxed{\text{エ}}$にあてはまる式を、
それぞれ、$a$または$b$を使った最も簡単な形で書きなさい。
また、$\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数を求めなさい。
（2つの$\boxed{\text{ウ}}$、2つの$\boxed{\text{エ}}$には、
それぞれ同じ式が入り、2つの$\boxed{\text{オ}}$には
同じ数が入ります。）
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