問題文全文(内容文)：
自然数$n$に対して$S(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{x}^{2k-2},R(x)={\displaystyle \frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{1+x^2}}}$とする。
さらに$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$とする。このとき、次の問いに答えよ。
（1）等式${\displaystyle \frac{0}{1}S(x)dx={\displaystyle \sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{\displaystyle \frac{1}{2k-1}}}}$が成り立つことを示せ。
（2）定積分${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}$の値を求めよ。
（3）等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ。
（4）不等式$|{\displaystyle {\int }_0^{1}R(x)dx|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2n+1}}}$が成り立つことを示せ。
（5）無限階級$1-{\displaystyle \frac{1}{3}+{\displaystyle \frac{1}{5}-{\displaystyle \frac{1}{7}+\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}}}}$の和を求めよ。

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{18}}^{\frac{\pi }{9}}{\sin }^{2}3xdx}$

出典：2022年茨城大学

問題文全文(内容文)：
$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{x}}$
$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin |x-t|dt}$の最小値、最大値を求めよ。

出典：2021年津田塾大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
【東北大学 2024】
$xyz$空間内の$xy$平面上にある円$C:x^2+y^2=1$および円板$D:x²+y²\leqq 1$を考える。$D$を底面とし点$P(0,0,1)$を頂点とする円錐を$K$とする。$A(0,-1,0),B(0,1,0)$とする。$xyz$空間内の平面$H:z=x$を考える。すなわち、$H$は$xz$平面上の直線$z=x$と線分$AB$をともに含む平面である。$K$の側面と$H$の交わりとしてできる曲線を$E$とする。${\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}$を満たす実数$\theta$に対し、円$C$上の点$Q(cos\theta ,sin\theta ,0)$をとり、線分$PQ$と$E$の共有点を$R$とする。
(1) 線分$PR$の長さを$r(\theta )$とおく。$r(\theta )$を$\theta$を用いて表せ。
(2)円錐$K$の側面のうち、曲線$E$の点$A$から点$R$までを結ぶ部分、線分$PA$,および線分$PR$により囲まれた部分の面積を$S(\theta )$とおく。$\theta$と実数$h$が条件${\displaystyle 0\leqq \theta ＜\theta +h\leqq \frac{\pi }{2}}$を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
${\displaystyle \frac{h\{r(\theta ){\}}^2}{2\sqrt{2}}\leqq S(\theta +h)-S(\theta )\leqq \frac{h\{{r(\theta +h)\}}^2}{2\sqrt{2}}}$
(3) 円錐$K$の側面のうち、円$C$の$x\geqq 0$の部分と曲線$E$により囲まれた部分の面積を$T$とおく。$T$を求めよ。必要であれば${\displaystyle tan\frac{\theta }{2}=u}$とおく置換積分を用いてもよい。

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle {\int }_0^3{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x+1}}dx}}$

出典：2017年東京都市大学　入試問題