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微分の定義をイメージで解説します。

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$f(x)$の$x=a$における$n$次近似式の等式は
$f(x)=\dfrac{f(a)}{O!}+\dfrac{f'(a)}{1!}(x-a)+･･････$
$+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n+\xi_n (x)$
つまり
$f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k+\xi (x)$
ただし
$\displaystyle \lim_{x\to a} \dfrac{\xi_n(x)}{(x-a)^n}=0$

これを解け.

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【数学III】関数の近似式の解説動画です

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$\boxed{12}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$ $(x=e , y=e^2)$
x=1のときy(x>0)を求めよ。

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$f(x)$の$x=a$における一次近似式は
$f(a)+f`(a)(x-a)$
次の点における一次近似式を求めよ.

(1)$e^{2x}\cos x \ (x=0)$
(2)$\dfrac{1}{x} \ (x=1)$