福田のおもしろ数学234〜区分求積の公式の変形その2 - 質問解決D.B.(データベース)

福田のおもしろ数学234〜区分求積の公式の変形その2

問題文全文(内容文):
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n}) $$ = \displaystyle \int_0^1 f(x) dx $ である。では、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n+1} \sum_{k=n+2}^{4n+1} f(\frac{k}{n})$ は?
単元: #積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n}) $$ = \displaystyle \int_0^1 f(x) dx $ である。では、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n+1} \sum_{k=n+2}^{4n+1} f(\frac{k}{n})$ は?
投稿日:2024.08.23

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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{x^2-4}\ dx$を計算せよ。

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(2)$f(x)=x+\frac{x}{1+x}-2\log (1+x)$とおく。すべての正の実数$x$に対して、$f(x)\gt 0$が成り立つことを証明せよ。さらに、すべての正の整数$n$に対して$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\gt 2\log (1+\frac{1}{n})$を示せ。
(3)$n\geqq 2$を満たすすべての整数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})\gt \log n$が成り立つことを証明せよ。
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指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{x\sqrt{ 1+x^6 }}\ dx$を計算せよ。

出典:昭和9年東京大学 入試問題
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