問題文全文(内容文)：

$\boxed{4}$

この問いでは、

$0$以上の整数の$2$乗になる数を平方数と呼ぶ。

$a$を正の整数とし、

$f_a (x) = x^2+x-a$とおく。

(1)$n$を正の整数とする。

$f_a(n)$は平方数ならば、$n\leqq a$であることを示せ。

(2)$f_a (n)$が平方数となる正の整数$n$の個数を

$N_a$とおく。

次の条件$(i),(ii)$が同値であることを示せ。

$(i)\quad N_a=1$である。

$(ii)\quad 4a+1$は素数である。

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
∠C=90° である直角三角形ABCにおいて，∠A=θ, AB=k とする。頂点Cから辺ABに下ろした垂線を CD とするとき，次の線分の長さをk，θを用いて表せ。(1) BC (2) AC (3) AD (4) CD (5) BD

問題文全文(内容文)：
右の図のような$AB=\sqrt6、AD=\sqrt3、AE=1$である直方体$ABCD-EFGH$がある。このとき、次のものを求めよ。
(1)$\angle ACF$の大きさ　
(2)$△ACF$の面積

問題文全文(内容文)：
$\sqrt {1000×1003×1006×1009+81}$

問題文全文(内容文)：
$x=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1},y=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$のとき、
次の式の値を求めなさい。

(1)$x+y$

(2)$xy$

(3)$x^2+y^2$

(4)$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}$

(5)$x^3+y^3$