問題文全文(内容文)：
数列$\{a_n\}$に対して${\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k(n=1,2,3,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・})}$とし、さらに$S_0=0$と定める。$\{a_n\}$は$S_n={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(n+3)a_{n+1}$(n=0,1,2,・・・)を満たすとする。
(1)$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である。また、$n\geqq 1$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから、関係式$(n+\boxed{\text{ウ}})a_{n+1}=(n+\boxed{\text{エ}})a_n(n=1,2,3,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・})$・・・(*)が得られる。数列$\{b_n\}$を$b_n=n(n+1)(n+2)a_n(n=1,2,3,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・})$で定めると、$b_1=\boxed{\text{オ}}$であり、$n\geqq 1$に対して$b_{n+1}=\boxed{\text{カ}}{b}_n$が成り立つ。ゆえに$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{n(n+1)(n+2)}}$が得られる。
次に、数列$\{T_n\}={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{a_k}{(k+3)(k+4)}}(n=1,2,3,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・})}$で定める。
(2)(*)より導かれる関係式
${\displaystyle \frac{a_k}{k+3}}-{\displaystyle \frac{a_{k+1}}{k+4}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}{a}_k}{(k+3)(k+4)}}(k=1,2,3,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・})$
を用いると
$T_n=A-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}(n+p)(n+q)(n+r)(n+s)}}(n=1,2,3,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・})$
が得られる。ただしここに$A=\boxed{\text{サ}}\mathrm{シ}\mathrm{ス}$であり、$p<q<r<s$として$p=\boxed{\text{セ}},q=\boxed{\text{ソ}},r=\boxed{\text{タ}},s=\boxed{\text{チ}}$である。
(3)不等式$|T_n-A|<{\displaystyle \frac{1}{10000(n+1)(n+2)}}$を満たす最小の自然数$n\mathrm{は}n=\boxed{\text{ツテ}}$である。

2023慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
aは$a\ne 1$を満たす正の実数とする。xy平面上の点$P_1,P_2,\dots \dots ,P_n,\dots \dots$および
$Q_1,Q_2,\dots \dots ,Q_n,\dots \dots$が、すべての自然数nについて
$\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}=(1-a)\overrightarrow{P_n{Q}_n}, \overrightarrow{Q_n{Q}_{n+1}}=(0,\frac{a^{-n}}{1-a})$
を満たしているとする。また$P_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする。
(1)$x_{n+2}$を$a, x_n, x_{n+1}$で表せ。
(2)$x_1=0, x_2=1$のとき、数列$\left\{x_n\right\}$の一般項を求めよ。
(3)$y_1=\frac{a}{(1-a{)}^2}, y_2-y_1=1$のとき数列$\left\{y_n\right\}$の一般項を求めよ。

2022北海道大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$a_{a+2}={\displaystyle \frac{(a_{n+1}{)}^3}{(a_n{)}^2}}$

$a_1=2$
$a_2=4$

一般項$a_n$を求めよ

出典：1996年新潟大学　過去問

問題文全文(内容文)：
数列$a_1,a_2$,・・・を$a_n={\displaystyle \frac{{}_{2}n{\mathrm{C}}_n}{n!}}$(n=1,2,・・・)で定める。
（１）$a_7$と１の大小を調べよ。
（２）$n\geqq 2$とする。${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}<1}$を満たすｎの範囲を求めよ。
（３）$a_n$が整数となる$n\geqq 1$を全て求めよ。

2018東京大学文過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$　$A,B$の2人がサイコロを使って次のようなルールでゲームを行う。
先に1を出した方を勝ちとして終了する。
$(\text{i})A$が1回目にサイコロを投げる
$(\text{ii})A$がサイコロを投げて1,2以外が出たときは、次の回はBがサイコロを投げる。
$(\text{iii})A$がサイコロを投げて1,2以外が出たときは、次の回はBがサイコロを投げる。
$(\text{iv})B$がサイコロを投げて1,2,3以外が出たときは、次の回はAがサイコロを投げる。
$(\text{v})B$がサイコロを投げて2か3が出たときは、次の回もBがサイコロを投げる。

(1)$k$回目にAがサイコロを投げる確率を$P_k,B$が投げる確率を$Q_k$とする。
$P_{k+1}$を$P_k$と$Q_k$を用いて表せ。

(2)k回目に$A$がサイコロを投げて勝つ確率を$R_k$とする。$R_k$を$k$を用いて表せ。