数学「大学入試良問集」【19−20 媒介変数のグラフと曲線の長さ、面積】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：

r

を正の定数とする。

x y

平面上を時刻

t = 0

から

t = π

まで運動する点

P (x, y)

の座標が

x = 2 r (t - \sin t \cos t), y = 2 r \sin^{2} t

であるとき、以下の問いに答えよ。
（1）
点

P

が描く曲線の概形を、

x y

平面上にかけ。

（2）
点

P

が時刻

t = 0

から

t = π

までに動く道のり

S

は、

S = \int_{0}^{π} \sqrt{{[\frac{d x}{d t}]}^{2} + {[\frac{d y}{d t}]}^{2}} d t

で与えられる。
このとき、

S

の値を求めよ。

（3）点

P

が描く曲線と

x

軸で囲まれた部分を、

x

軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

r

を正の定数とする。

x y

平面上を時刻

t = 0

から

t = π

まで運動する点

P (x, y)

の座標が

x = 2 r (t - \sin t \cos t), y = 2 r \sin^{2} t

であるとき、以下の問いに答えよ。
（1）
点

P

が描く曲線の概形を、

x y

平面上にかけ。

（2）
点

P

が時刻

t = 0

から

t = π

までに動く道のり

S

は、

S = \int_{0}^{π} \sqrt{{[\frac{d x}{d t}]}^{2} + {[\frac{d y}{d t}]}^{2}} d t

で与えられる。
このとき、

S

の値を求めよ。

（3）点

P

が描く曲線と

x

軸で囲まれた部分を、

x

軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

投稿日：2021.09.21

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問題文全文(内容文)：
下記の不定積分を解け。

\int x l o g (x + 1)

d x

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sin x + \cos x} d x

を求めよ。

出典：2013年横浜市立大学医学部　入試問題

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問題文全文(内容文)：
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x y

平面上において、不等式

(y e^{x})^{2} ≦ (s i n 2 x)^{2}, 0 ≦ x ≦ π

の表す領域を

D

とし、領域

D

と直線

x = a

の共通部分の線分の長さを

l (a)

とする。以下の問に答えよ。
(1)

l (a)

が

a = a_{0}

で最大となるとき、

t a n a_{0}

の値を求めよ。
(2)領域

D

の面積を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x}{x^{2} + 1} d x

出典：2019年富山大学推薦

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問題文全文(内容文)：
自然数

n

に対して

S (x) = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} x^{2 k - 2}, R (x) = \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{1 + x^{2}}

とする。
さらに

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

とする。このとき、次の問いに答えよ。
（1）等式

\frac{0}{1} S (x) d x = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} \frac{1}{2 k - 1}

が成り立つことを示せ。
（2）定積分

\int_{0}^{1} f (x) d x

の値を求めよ。
（3）等式

S (x) = f (x) - R (x)

が成り立つことを示せ。
（4）不等式

| \int_{0}^{1} R (x) d x | ≦ \frac{1}{2 n + 1}

が成り立つことを示せ。
（5）無限階級

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ・ ・ ・

の和を求めよ。

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