問題文全文(内容文)：
数学$\text{II}$　対称式と領域(3)
実数$x,y$が$x^2+xy+y^2=6$を
満たしながら動くとき
$x^{2}y+x{y}^2-x^2-2xy-y^2+x+y$
の取り得る値の範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\cos {\displaystyle \frac{2}{7}}\pi +\cos {\displaystyle \frac{4}{7}}\pi +\cos {\displaystyle \frac{8}{7}}\pi =?$

$\sin {\displaystyle \frac{2}{7}}\pi +\sin {\displaystyle \frac{4}{7}}\pi +\sin {\displaystyle \frac{8}{7}}\pi =?$

これらを求めよ。

産業医科大過去問

問題文全文(内容文)：
$$ $\boxed{{\displaystyle 4}}$　$$$A_n=\{1,2,\dots ,n\}$$\mathrm{を}、$ $1\mathrm{か}\mathrm{ら}n\mathrm{ま}\mathrm{で}\mathrm{の}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。$ $S\mathrm{を}{A}_n\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{集}\mathrm{合}$ $(\mathrm{空}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{お}\mathrm{よ}\mathrm{び}{A}_n\mathrm{自}\mathrm{身}\mathrm{も}\mathrm{含}\mathrm{む})$ $\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{と}\mathrm{き}、S^{\prime }\mathrm{を}S\mathrm{の}\mathrm{要}\mathrm{素}\mathrm{そ}\mathrm{れ}\mathrm{ぞ}\mathrm{れ}\mathrm{に}$ $$\begin{gathered} 1\mathrm{を}\mathrm{加}\mathrm{え}\mathrm{て}\mathrm{で}\mathrm{き}\mathrm{た} \\ \mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。 \end{gathered}$$$\mathrm{ま}\mathrm{た}{S}^{″}\mathrm{を}{S}^{\prime }\mathrm{の}\mathrm{要}\mathrm{素}\mathrm{そ}\mathrm{れ}\mathrm{ぞ}\mathrm{れ}\mathrm{に}\mathrm{さ}\mathrm{ら}\mathrm{に}1\mathrm{を}\mathrm{加}\mathrm{え}\mathrm{て}\mathrm{で}\mathrm{き}\mathrm{た}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。$ $$ $\mathrm{た}\mathrm{と}\mathrm{え}\mathrm{ば}、A_3=\{1,2,3\}\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{集}\mathrm{合}$ $S=\{1,3\}\mathrm{の}\mathrm{場}\mathrm{合}、$ $S^{\prime }=\{2,4\},S^{″}=\{3,5\}$ $(1)A_4=\{1,2,3,4\}\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{集}\mathrm{合}$ $S=\{1,2,3\}\mathrm{は}S\cup S^{\prime }=A_4\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}。$$$\begin{gathered} \mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に} \\ {A}_4\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{で}S\cup S^{\prime }=A_4\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{も}\mathrm{の}\mathrm{は} \end{gathered}$$$\{1,2,3\}\mathrm{と}\{1,\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}\}\mathrm{の}2\mathrm{つ}\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{る}。$ $(2)A_n\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{集}\mathrm{合}S\mathrm{で}S\cup S^{\prime }=A_n\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{な}S\mathrm{の}\mathrm{個}\mathrm{数}\mathrm{を}{a}_n\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}、$$$\begin{gathered} (1)\mathrm{か}\mathrm{ら} \\ \mathrm{分}\mathrm{か}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}{a}_4=2\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{り} \end{gathered}$$$a_5=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}\mathrm{ウ}}},$ $$\begin{gathered} a_6=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}\mathrm{オ}}},a_7=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}},a_8=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}},\dots ,a_{16}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}\mathrm{サ}\mathrm{シ}}} \\ \mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}。 \end{gathered}$$ $(3)A_4=\{1,2,3,4\}\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{集}\mathrm{合}S\mathrm{で}$ $S$$$\begin{gathered} \cup S^{″}=A_4\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{も}\mathrm{の}\mathrm{は}S=\{1,\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}\}\mathrm{だ}\mathrm{け} \\ \mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{る}。 \end{gathered}$$ $(4)A_n\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{集}\mathrm{合}S\mathrm{で}S\cup S^{″}=A_n\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{な}S\mathrm{の}\mathrm{個}\mathrm{数}\mathrm{を}{b}_n\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}、$$$\begin{gathered} (3)\mathrm{か}\mathrm{ら} \\ \mathrm{分}\mathrm{か}\mathrm{う}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}{b}_4=1\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{り} \end{gathered}$$$b_5=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}},b_6=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$$$\begin{gathered} ,b_7=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}},b_8=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}\mathrm{ナ}}},\dots ,b_{16}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}}} \\ \mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}。 \end{gathered}$$ 2021慶應義塾大学環境情報学部過去問

問題文全文(内容文)：
第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき$\sin x\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}\sin 2x$であり、$x=\frac{2}{3}\pi$のとき$\sin x\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}\sin 2x$である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$, $\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜　①=　②＞
(2) $\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう。
$\sin 2x$-$\sin x$=$\sin 2x(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})$
であるから、$\sin 2x$-$\sin x$＞0が成り立つことは
「$\sin x$＞0かつ $\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}>0$」... ①
「$\sin x$＜0かつ $\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}<0$」... ②
が成り立つことと同値である。$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
$\pi <x<{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}\pi }$
である。よって、$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x>\sin x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}, \pi <x<{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}\pi }}$
である。
(3)$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
$\sin (\alpha +\beta )$-$\sin (\alpha -\beta )$=$2\cos \alpha \sin \beta$...③
が得られる。$\alpha +\beta =4x$, $\alpha -\beta =3x$を満たす$\alpha$, $\beta$に対して③を用いることにより、$\sin 4x-\sin 3x>0$が成り立つことは
「$\cos \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}>0$ かつ $\sin \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}>0$」...④
または
「$\cos \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}<0$ かつ $\sin \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}<0$」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
$0\leqq x\leqq \pi$のとき、④,⑤により、$\sin 4x$＞$\sin 3x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$, ${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}\pi <x<\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\pi }$
である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$,　$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①x　②2x　③3x
④4x　⑤5x　⑥6x　⑦$\frac{x}{2}$　
⑧$\frac{3}{2}x$　⑨$\frac{5}{2}x$　ⓐ$\frac{7}{2}x$　ⓑ$\frac{9}{2}x$
(4)(2), (3)の考察から、$0\leqq x\leqq \pi$のとき、$\sin 3x>\sin 4x>\sin 2x$が成り立つようなxの値の範囲は
${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$ $<$ ${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$,　${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\pi <x<\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}\pi }$
であることがわかる。
[ 2 ]
(1)$a>0$,　$a\ne 1$,　$b>0$のとき、${\log }_{a}b=x$とおくと、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$が成り立つ。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$の解答群
⓪$x^a=b$　①$x^b=a$　②$a^x=b$
③$b^x=a$　④$a^b=x$　⑤$b^a=x$
(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)${\log }_{5}25=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}$,　${\log }_{9}27={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$であり、どちらも有理数である。
(ii)${\log }_{2}3$が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。
${\log }_{2}3$が有理数であると仮定すると、${\log }_{2}3$＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{p}{q}}$と表すことができる。このとき、(1)により${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{p}{q}}$は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}}$と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}}$を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、${\log }_{2}3$は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$ならば${\log }_{a}b$は常に無理数である」ことがわかる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$の解答群
⓪aが偶数　①bが偶数　②aが奇数　
③bが奇数　④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数　⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数

2023共通テスト過去問