問題文全文(内容文)：
aを実数とし、xの4次関数f(x)を$f(x)=3x^4-4(a+2)x^3+12ax^2+1$とする。次の問に答 えよ。
(1)f(x)が極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)(1)で求めた範囲 をaが動くとき、曲線y=f(x)において、f(x)が極大となる点の軌跡を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1) x⁴-5x²+4を因数分解せよ。
(2) 多項式P(x)をx-2で割ると、商がx²+2x+4で、余りが3となるとき、P(x)を求めよ。
(3) kを実数の定数とする。2次関数 y=x²+4x+k の最小値が3であるとき、 kの値を求めよ。
(4) iを虚数単位とする。 i³(2+i) を a+bi (a, bは実数)の形で表せ。
(5) AB=5、BC=6、0°＜∠ABC＜90°,面積が6√6である三角形ABCにおいて、sin∠ABCの値とCAの長さを求めよ。
(6) 7個の数字1,2,3,4,5,6,7から、異なる3個を選び、それらを並べて3桁の整数を作る。このとき、3桁の整数は全部で何個あるか、また、3桁の偶数は何個あるか。

大問2-1:2次不等式
実数xについての2つの不等式
3x²-11x+6≤0...①
│x-a│＜1...②
がある。ただし、aは実数の定数とする。
(1) ①を解け、
(2) a=2のとき、②を解け、
(3) ①かつ②を満たす整数xが、ちょうど2個存在するようなの値の範囲を求めよ。

大問2-2:図形と方程式
xy平面上に、
円C:x²+y²-4x-2y+3=0
直線l:x-2y+a=0
があり、Cの中心をA、半径をrとする。ただし、aは正の定数とする。
(1) Aの座標との値を求めよ。
(2) Cとしが異なる2点で交わるようなの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、Cとの異なる2つの交点をP, Qとする、が(2)で求めた範囲を動くとき、三角形APQの面積が最大となるようなaの値を求めよ。

大問3:高次方程式
xの3次式
f(x)=x³-(k+2)x²+(k²+2k-2)x-k³+2k
と、xの3次方程式
f(x)=0...(*)
がある。ただし、kは正の定数とする。
(1) f(k)を求めよ。
(2) k=1のとき、(*)を解け。
(3) (*)が異なる3つの実数解をもつようなんの値の範囲を求めよ。また、そのとき、(*)を解け。
(4) 実数xに対して、x以下の最大の整数を[x]と表す。例えば、[3.5]=3、[2]=2である、(3)のとき、次の条件(#)が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。
条件(#): (*)の異なる2解α、βで[α]=[β]を満たすものが存在する。

大問4:確率
数直線上に点Pがある。最初、Pは原点にあり、1枚のコインを1回投げるごとに、表が出たときはPを正の方向に1だけ動かし、裏が出たときはPを負の方向に1だけ動かす。また、Pを初めて正または負の方向に1だけ動かした後、Pが原点に戻るたびに1点を獲得するものとする。
(1) コインを2回投げたとき、Pが原点にある確率を求めよ。
(2) コインを4回投げたとき、
(i) Pが原点にある確率を求めよ。
(ii) 4回目に初めて1点を獲得する確率を求めよ。
(iii) 獲得する点数の合計の期待値を求めよ。
(3) コインを6回投げたとき、1点も獲得しない確率を求めよ。


大問5:三角関数
kを実数の定数とする。以下のような、θの方程式①との不等式②がある。
tan=k...①
2cosθ+1≧0...②
(1) k=1のとき、0≦θ＜2πにおいて、①を解け。
(2) 0≦θ＜2πにおいて、②を解け。
(3) 0≦θ＜2πにおける①の解は2個ある。その2個の解の和が4π/3となるようなんの値を求めよ。
(4) (2)で求めたθの値の範囲における①の解が、2個あるときを考える。その2個の解をα, β(α＜β) とする。
(i) kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii) α+β≧7π/4となるようなkの値の範囲を求めよ。

大問6:数列
等差数列{a_n} (n=1,2,3,...) があり、
a₄=28、a₁₀=76
である。また、数列{b_n} (n=1,2,3,...)があり、その一般項は、
b_n=n²-n+2
である。
(1) 数列{a_n}の一般項a_nを求めよ。また、数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
(2) 数列{b_n}の階差数列を{c_n}(n=1,2,3,...) とするとき、数列{c_n}の一般項c_nを求めよ。
(3) (1), (2) で求めたS_n, c_nに対して、次の連立不等式を満たす整数x、yの組(x,y)の個数をA_n(n=1,2,3,...)とする。
1≦x≦c_n、1≦y≦S_n、x²≦y≦4x²
(i) A₂を求めよ。
(ii) A_nを求めよ。

問題文全文(内容文)：
第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$α=\displaystyle \frac{ア-\sqrt{イ}}{ウ}$,$β=\displaystyle \frac{ア+\sqrt{イ}}{ウ}$

である。

(1)$n\lt\displaystyle \frac{1}{β}\lt n+1$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\left\{
\begin{array}{l}
αx \lt 1\\
βx \lt 1
\end{array}
\right.$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x$

カ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x\lt\displaystyle \frac{1}{β}$　　②　$\displaystyle \frac{1}{β}\lt x$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos ∠BAC=\displaystyle \frac{ク}{ケ}$,$sin ∠BAC=\displaystyle \frac{コ}{サ}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は$\displaystyle \frac{シ\sqrt{ス}}{セ}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{ソ}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD= タ $

であり、

$∠ADC= チツ°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L = CQ + PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$AB^2\gt BC^2+CA^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$テ\sqrt{ト}$である。

問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、$AB=7、BC=8、CA=3$とする。
(1)$\cos\angle BAC$の値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、$ \sin\angle BCP:\sin\angle CBP=1:3$となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1(小問集合)
(1)$\dfrac{12}{3-\sqrt5}$の整数部分をa、小数部分をbとする。(i)aの値を求めよ。(ii)$b^2+10b$の値を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。関数$f(x)=2x^2-6x+a$の$0\leqq x\leqq 1$における最小値が3となるようなaの値を求めよ。
(3)三角形ABCにおいて、$AB=3、BC=4、CA=2$である。$\cos\angle BAC$の値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(4)方程式$x^3-x^2-x-2=0$を解け。
(5)円$x^2+y^2=4$上の点($1, \sqrt3$)における接線の方程式を求めよ。
(6)方程式$4^x-5・2-(x+1)+24=0$を解け。
大問2(三角関数)
三角形OABにおいて、$OA=\sqrt3-1、OB=\sqrt2、\angle AOB=\dfrac{3\pi}{4}$が成り立っている。辺AB上(両端を含まない)に点Cをとり、直線OC上に点Dを、3点O、C、Dがこの順に並び、OD=2となるようにとる。$∠AOD=\theta\left(0\lt\theta\lt \dfrac{3\pi}{4}\right)$とおくとき、次の問に答えよ。
(1)三角形OADの面積を$\theta$を用いて表せ。
(2)三角形OBDの面積を$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(3)Cが辺AB上を動くとき、四角形OADBの面積の最大値、および、最大値を与える$\theta$の値を求めよ。
大問3(場合の数)
0から7までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、合計8枚のカードがある。この8枚のカードから3枚を選んで左から1列に並べ、2桁、もしくは3桁の整数Nを作る。例えば、012と並べたときは2桁の数で、$N=12$とし、123と並べたときは3桁の数で、$N=123$とする。
(1)2桁のN、3桁のNはそれぞれ何通りできるか。
(2)2桁のNのうち、十の位の数と一の位の数の和が7とならないものは何通りできるか。
(3)百の位が7のとき、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
(4)3桁のNのうち、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
大問4(微分法)
【問題文】
a、bを実数の定数とする。関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2$は$x=-1$で極大値14をとるとする。
(1)a、bの値を求めよ。
(2)$y=f(x)$のグラフとx軸は異なる3点で交わり、そのx座標を小さい方から順に$\alpha,\beta,γ$とする。
(i)$\alpha\gt -3$を示せ。
(ii)$P(3,0)、B(\beta,0)、C(γ,0)$とする。線分PBとPCの長さの大小を比較せよ。
大問5(数列)
【問題文】
2つの数列${a_n}{b_n}$が$a_1=\dfrac{3}{2}、a_{n+1}=\dfrac{3}{2a_n-\dfrac{1}{2}} (n=1,2,3,...)$$ b_1=p、b_{n+1}=b_n+p-\dfrac{1}{2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}} (n=1,2,3,...)$ を満たしている。ただし、pは整数とする。
(1)$a_n$をnの式で表せ。
(2)$b_n$をpとnの式で表せ。
(3)$c_n=b_n-a_n$とする。$c_n$が$n=4$で最大となるようなpの値を求めよ。