問題文全文(内容文)：
【宇都宮大学 2023】
関数$f(x)=|x-1|, g(x)=e^{-2x+1}$により定まる座標平面上の曲線$y=(f\circ g)(x)$を$C$とする。ただし、$e$は自然対数の底で$e=2.71828…$である。次の問いに答えよ。
(1) $(f\circ g)(0)$および$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(f\circ g)(x)$を求めよ。
(2) 座標平面上に曲線$C$の概形を図示せよ。
(3) $\displaystyle \frac{1}{2}＜t＜1$を満たす実数$t$に対し、$\displaystyle F(t)=(f\circ g)(\frac{t}{2})+(f\circ g)(t)$と定める。$F(t)$の増減を調べ、極値およびそのときの$t$の値を求めよ。
(4) 曲線$C$と直線$\displaystyle l:y=\frac{1}{2}$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{2}\displaystyle \frac{log\ x}{x^3}\ dx$

出典：2004年信州大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} (\sin^3x-\cos^3x) dx$

出典：2009年東北学院大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分で表された関数①)
Q.次の関数を$x$について微分せよ。ただし$a$は定数とする。

①$\int_a^x \frac{t}{1+e^{2t}}dt$

➁$\int_0^{x} (x-t)e^{2t}dt$

③$\int_0^{2x+1} \frac{1}{t^2+1}dt$

問題文全文(内容文)：
$a,\ h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,\ y)$とする
と、$x,\ y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{ア})\ x^2+2\ \boxed{イ}\ x+y^2=\boxed{ウ}...(1)$

$\boxed{ア},\ \boxed{イ},\ \boxed{ウ}$の解答群
$⓪a^2 ①h^2 ②a^3 ③a^2h ④ah^2$
$⑤h^3 ⑥b^4 ⑦a^2h^2 ⑧ah^3 ⑨h^4$

次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\ \theta)$とする。$r \leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,\ y)$を$a,\ h,\ θ$を用いて表すと

$(x,\ y)=(\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \cos θ,\ \frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \sin θ)...(2) $
$\boxed{エ},\ \boxed{オ}$の解答群
$⓪h①ah②h^2③ah^2④1+a\cos θ$
$⑤1+a\sin θ ⑥a\cos θ-1⑦a\sin θ-1⑧1-a\cos θ ⑨1-a\sin θ$

(1)から、$a=\boxed{カ}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2\int_0^{\boxed{ケ}}xdy=2\int_0^{\boxed{ケ}}(\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク})dy=$
$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}\ h^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos θ}{(1+\cos θ)^2}dθ=\frac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}$

$\boxed{キ},\ \boxed{ク},\ \boxed{ケ}$の解答群
$⓪h ①2h ②\frac{h}{2} ③-\frac{h}{2} ④\frac{1}{h}$
$⑤-\frac{1}{h} ⑥\frac{1}{2h} ⑦-\frac{1}{2h} ⑧h^2 ⑨-h^2$

2022明治大学全統理系過去問