問題文全文(内容文)：
4. $t$ を正の定数とする。2つの放物線 $y=2x^2$ ……① と $y^2=4t^3x$ ……② の交点のうち、原点と異なる点を $P$ とする。$P$ における①の接線を $\ell$、$P$ における②の接線を $m$ とし、$\ell$ と $m$ のなす角を $\theta$（$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$）とする。

$\ell$ の方程式は $t$ を用いて $y=\boxed{\text{ワ}}tx-\boxed{\text{ヲ}}t^{\boxed{\text{あ}}}$ と表せる。また、$\tan\theta$ は $t$ を用いて $\tan\theta=\dfrac{\boxed{\text{い}}t}{1+\boxed{\text{う}}t^2}$ と表せる。$\tan\theta$ は $t=\dfrac{\boxed{\text{え}}}{\boxed{\text{お}}}$ のとき、最大値 $\dfrac{\boxed{\text{か}}}{\boxed{\text{き}}}$ をとる。

次に、$t=\dfrac{\boxed{\text{え}}}{\boxed{\text{お}}}$ のとき、①と②で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ の面積は $\dfrac{\boxed{\text{く}}}{\boxed{\text{けこ}}}$ であり、$D$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積は $\dfrac{\boxed{\text{さ}}\pi}{\boxed{\text{しす}}}$ である。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

実数$a$および自然数$n$に対して、定積分

$I(a,n)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin (nx) dx$

を考える。ここで$e$は自然対数の底である。

(1)$I(a,n)$を求めよ。

(2)$a_n=\dfrac{\log _n}{2\pi} (n=1,2,3,\cdots)$のとき、

極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} I(a_n,n)$を求めよ。

ただし、$\log_n$は$n$の自然対数である。

また、必要ならば$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\log_n}{n}=0$である

ことを用いてもよい。

$2025$年北海道大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ。
(1) $\displaystyle f(x)=x+\int_0^2f(t)e^t~dt$
(2) $\displaystyle f(x)=\sin x-\int_0^\frac\pi3\{f(t)-\frac\pi3\}\sin t~dt$

問題文全文(内容文)：
$\int_0^{π/2} log(cosx) dx$を計算せよ。

問題文全文(内容文)：
次の不等式を証明せよ。

(1) $\dfrac{\pi}{2}<\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sin^2x}}<\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$

(2) $\dfrac{1}{3}<\displaystyle \int_0^1x^{(\sin x+\cos x)^2}dx<\dfrac{1}{2}$