問題文全文(内容文)：
$a \gt 1$
$I(a)=\displaystyle \int_{0}^{ \pi }\displaystyle \frac{a\sin\theta}{(a^2-2a \cos\theta+1)^{\frac{3}{2}}}d\theta$

1.$I(a)$を求めよ。
2.$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} I(n)$の値を求めよ。

出典：1997年千葉大学

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{7}$　関数
$f(x)$=$\displaystyle\left|\cos x-\sqrt5\sin x-\frac{3\sqrt2}{2}\right|$
について、以下の問いに答えよ。
(1)$f(x)$の最大値を求めよ。
(2)$\displaystyle\int_0^{2\pi}f(x)dx$　を求めよ。
(3)$S(t)$=$\displaystyle\int_t^{t+\frac{\pi}{3}}f(x)dx$　とおく。このとき$S(t)$の最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。\\
f(x)を整式とする。F'(x)=f(x)となるF(x)を1つ選び、\\
f(x)のaからbまでの定積分を\\
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)　　　　　　　　　\ldots①\\
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。\\
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。\\
(A)\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx\\
(B) a \leqq c \leqq bのとき、\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx\\
(C)区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \geqq h(x)ならば、\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx\\
ただし、f(x),g(x),h(x)は整式、k,lは定数である。\\
以下、f(x)が区間0 \leqq x \leqq 1上で増加関数になる場合を考える。\\
nを自然数とする。定積分の性質\boxed{\ \ ア\ \ }を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、\\
\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})　　(i = 1,2,\ldots,n)　　　　　\ldots②\\
が成り立つことがわかる。S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})とおくと、\\
不等式②と定積分の性質\boxed{\ \ イ\ \ }より次の不等式が成り立つ。\\
0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}　　　　　\ldots③\\
よって、nを限りなく大きくするとS_nは\int_0^1f(x)dxに限りなく近づく。\\
\\
\\
(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)が\\
成り立つことと定積分の定義①を用いて、性質(A)でk=l=1とした場合の等式\\
\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx　を示せ。\\
(2)定積分の定義①と関数の増減と導関数の関係を用いて、次を示せ。\\
a \lt bのとき、区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \gt 0ならば、\int_a^bg(x)dx \gt 0\\
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ ア\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、\\
不等式②を示せ。\\
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ イ\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。\\
\end{eqnarray}

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 実数xに対して関数f(x)をf(x)=$e^{x-2}$で定め、正の実数xに対して関数g(x)をg(x)=$\log x$+2で定める。またy=f(x), y=g(x)のグラフをそれぞれ$C_1$,$C_2$とする。以下の問いに答えよ。
(1)f(x)とg(x)がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2)直線y=xと$C_1$が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら2＜e＜3を証明しないで用いてよい。
(3)直線y=xと$C_1$との2つの交点のx座標を$\alpha$, $\beta$とする。ただし$\alpha$＜$\beta$とする。
直線y=xと$C_1$,$C_2$をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を(3)の$\alpha$と$\beta$の多項式で表せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \displaystyle \frac{t\ \sin\ t}{1+\pi^{\sin^3t}}dt$

出典：2022年横浜市立大学　入試問題