問題文全文(内容文)：
どちらがでかいか?
$2^{\pi }$ VS ${\pi }^2$

ただし,$3.14<\pi <{\displaystyle \frac{22}{7}}$
$2.7<e<2.8$であるとする.

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1](1)次の問題$A$について考えよう。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{問}\mathrm{題}A}} \mathrm{関}\mathrm{数}y=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\$\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。}}$

$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2},}}$　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}$
であるから、三角関数の合成により

$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}})$

と変形できる。よって、$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$をとる。

(2)$p$を定数とし、次の問題$B$について考えよう。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{問}\mathrm{題}B}} \mathrm{関}\mathrm{数}y=\sin \theta +p\cos \theta (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。}}$

$(\text{i})$　$p=0$のとき、$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$をとる。
$(\text{ii})$　$p>0$のときは、加法定理
$\cos (\theta -\alpha )=\cos \theta \cos \alpha$$+\sin \theta \sin \alpha$
を用いると
$y=\sin \theta +p\cos \theta$$=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}\cos (\theta -\alpha )$
と表すことができる。ただし、$\alpha$は
$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}}}$、$\cos \alpha =\frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}}$、$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
を満たすものとする。このとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$で最大値
$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}}$をとる。

$(\text{iii})$　$p<0$のとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$をとる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群(同じものを繰り返
し選んでもよい。)
⓪$-1$
①$1$
②$-p$
③$p$
④$1-p$
⑤$1+p$
⑥$-p^2$
⑦$p^2$
⑧$1-p^2$
⑨$1+p^2$
ⓐ$(1-p{)}^2$
ⓑ$(1+p{)}^2$


$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$\alpha$
②${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$


[2]二つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}}$、$g(x)={\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$ について考える。

(1)$f(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}、g(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。また、$f(x)$は相加平均
と相乗平均の関係から、$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$で最小値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$ をとる。
$g(x)=-2$ となる$x$の値は${\log }_2(\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}})$である。

(3)次の①～④は、$x$にどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$　$\cdots$①
$g(-x)=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$　$\cdots$②
${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}$　$\cdots$③
$g(2x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}f(x)g(x)$　$\cdots$④

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$f(x)$
①$-f(x)$
②$g(x)$
③$-g(x)$


(3)花子さんと太郎さんは、$f(x)$と$g(x)$の性質について話している。

花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式($\text{A}$)～($\text{D}$)を考えてみたけど、
常に成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式($\text{A}$)～($\text{D}$)の$\beta$に何か具体
的な値を代入して調べてみたらどうかな。

太郎さんが考えた式
$f(\alpha -\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta )$　$\cdots (\text{A})$
$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )f(\beta )+g(\alpha )g(\beta )$　$\cdots (\text{B})$
$g(\alpha -\beta )=f(\alpha )f(\beta )+g(\alpha )g(\beta )$　$\cdots (\text{C})$
$g(\alpha +\beta )=f(\alpha )g(\beta )-g(\alpha )f(\beta )$　$\cdots (\text{D})$


(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式($\text{A}$)～($\text{D}$)のうち、
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$以外の三つは成り立たないことが分かる。$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$は左辺と右辺
をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$の解答群
⓪$(\text{A})$
①$(\text{B})$
②$(\text{C})$
③$(\text{D})$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$(1)0<x<a\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}$
$$\frac{2x}{a}<{\int }_{a-x}^{a+x}\frac{1}{t}dt<x(\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x})$$を示せ．
$(2)0.68<log2<0.71\mathrm{を}\mathrm{示}\mathrm{せ}.$

問題文全文(内容文)：
第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき$\sin x\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}\sin 2x$であり、$x=\frac{2}{3}\pi$のとき$\sin x\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}\sin 2x$である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$, $\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜　①=　②＞
(2) $\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう。
$\sin 2x$-$\sin x$=$\sin 2x(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})$
であるから、$\sin 2x$-$\sin x$＞0が成り立つことは
「$\sin x$＞0かつ $\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}>0$」... ①
「$\sin x$＜0かつ $\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}<0$」... ②
が成り立つことと同値である。$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
$\pi <x<{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}\pi }$
である。よって、$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x>\sin x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}, \pi <x<{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}\pi }}$
である。
(3)$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
$\sin (\alpha +\beta )$-$\sin (\alpha -\beta )$=$2\cos \alpha \sin \beta$...③
が得られる。$\alpha +\beta =4x$, $\alpha -\beta =3x$を満たす$\alpha$, $\beta$に対して③を用いることにより、$\sin 4x-\sin 3x>0$が成り立つことは
「$\cos \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}>0$ かつ $\sin \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}>0$」...④
または
「$\cos \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}<0$ かつ $\sin \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}<0$」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
$0\leqq x\leqq \pi$のとき、④,⑤により、$\sin 4x$＞$\sin 3x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$, ${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}\pi <x<\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\pi }$
である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$,　$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①x　②2x　③3x
④4x　⑤5x　⑥6x　⑦$\frac{x}{2}$　
⑧$\frac{3}{2}x$　⑨$\frac{5}{2}x$　ⓐ$\frac{7}{2}x$　ⓑ$\frac{9}{2}x$
(4)(2), (3)の考察から、$0\leqq x\leqq \pi$のとき、$\sin 3x>\sin 4x>\sin 2x$が成り立つようなxの値の範囲は
${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$ $<$ ${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$,　${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\pi <x<\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}\pi }$
であることがわかる。
[ 2 ]
(1)$a>0$,　$a\ne 1$,　$b>0$のとき、${\log }_{a}b=x$とおくと、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$が成り立つ。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$の解答群
⓪$x^a=b$　①$x^b=a$　②$a^x=b$
③$b^x=a$　④$a^b=x$　⑤$b^a=x$
(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)${\log }_{5}25=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}$,　${\log }_{9}27={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$であり、どちらも有理数である。
(ii)${\log }_{2}3$が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。
${\log }_{2}3$が有理数であると仮定すると、${\log }_{2}3$＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{p}{q}}$と表すことができる。このとき、(1)により${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{p}{q}}$は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}}$と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}}$を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、${\log }_{2}3$は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$ならば${\log }_{a}b$は常に無理数である」ことがわかる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$の解答群
⓪aが偶数　①bが偶数　②aが奇数　
③bが奇数　④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数　⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
(3)関数$f(x)={\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt{3x^3-2x^2}$と$g(x)={\log }_9(3x^2-2)$の定義域をそれぞれ
集合A,Bで表すと、$\text{Extra left or missing right}$を満たす実数である。
実数xが集合$A\cap B$の要素であるとき、$f(x)+g(x)<0$となるための条件は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}<x<\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$または$x>\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$となることである。

2022慶應義塾大学医学部過去問