問題文全文(内容文)：
2023横浜市立(医・理)
$
\\
2^{log_49}の値
$

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$　
(1)次の連立不等式の表す領域の面積は$\dfrac{\boxed{\ \ オ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }}$　である。
$\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\log_4y+\log_{\frac{1}{4}}(x-2)+\log_4\frac{1}{8-x} \geqq -1\\
2^{y+x^2+11} \leqq 1024^{x-1}\\
\end{array}\right.$

2021早稲田大学人間科学部過去問

問題文全文(内容文)：
8.94^18の整数部分は何桁か。また、最高位からの2桁の数字を求めよ。例えば、12345.6789の最高位の2桁は12を指す。
ただし、0.951<log10_8.94<0.952, 0.113<log10_1.3<0.114, 0.146<log10_1.4<0.147 であることは用いてよい。

問題文全文(内容文)：
第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) $x=\displaystyle\frac{\pi}{6}$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}\sin 2x$であり、$x=\frac{2}{3}\pi$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}\sin 2x$である。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜　①=　②＞
(2) $\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう。
$\sin 2x$-$\sin x$=$\sin 2x\left(\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$
であるから、$\sin 2x$-$\sin x$＞0が成り立つことは
「$\sin x$＞0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \gt 0$」... ①
「$\sin x$＜0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \lt 0$」... ②
が成り立つことと同値である。$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
$\pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。よって、$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x \gt \sin x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }},　\pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。
(3)$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
$\sin(\alpha+\beta)$-$\sin(\alpha-\beta)$=$2\cos\alpha\sin\beta$...③
が得られる。$\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$を満たす$\alpha$, $\beta$に対して③を用いることにより、$\sin 4x-\sin 3x \gt 0$が成り立つことは
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \gt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \gt 0$」...④
または
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \lt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt 0$」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、④,⑤により、$\sin 4x$＞$\sin 3x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$, $\displaystyle\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi$
である。
$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$,　$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①x　②2x　③3x
④4x　⑤5x　⑥6x　⑦$\frac{x}{2}$　
⑧$\frac{3}{2}x$　⑨$\frac{5}{2}x$　ⓐ$\frac{7}{2}x$　ⓑ$\frac{9}{2}x$
(4)(2), (3)の考察から、$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、$\sin 3x \gt \sin 4x \gt \sin 2x$が成り立つようなxの値の範囲は
$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$ $\lt$ $\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$,　$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}\pi$
であることがわかる。
[ 2 ]
(1)$a \gt 0$,　$a \ne 1$,　$b \gt 0$のとき、$\log_ab=x$とおくと、$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$が成り立つ。
$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群
⓪$x^a=b$　①$x^b=a$　②$a^x=b$
③$b^x=a$　④$a^b=x$　⑤$b^a=x$
(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)$\log_5 25=\boxed{\ \ テ\ \ }$,　$\log_9 27=\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$であり、どちらも有理数である。
(ii)$\log_2 3$が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。
$\log_2 3$が有理数であると仮定すると、$\log_2 3$＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$と表すことができる。このとき、(1)により$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$は$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、$\log_2 3$は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$ならば$\log_a b$は常に無理数である」ことがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$の解答群
⓪aが偶数　①bが偶数　②aが奇数　
③bが奇数　④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数　⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$m,n$を自然数とし,$0\lt a \lt 1$とする.
$\log_2 6=m+\dfrac{1}{n+a}$

(1)$m,n$を求めよ.
(2)$a\gt \dfrac{2}{3}$を示せ.

2006大阪大過去問