問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ 定数$m$に対して$x$,$y$,$z$の方程式
$xyz$+$x$+$y$+$z$=$xy$+$yz$+$zx$+$m$　...①
を考える。次の問いに答えよ。
(1)$m$=1のとき①式を満たす実数$x$,$y$,$z$の組を全て求めよ。
(2)$m$=5のとき①式を満たす整数$x$,$y$,$z$の組を全て求めよ。ただし、
$x$≦$y$≦$z$　とする。
(3)$xyz$=$x$+$y$+$z$　を満たす整数$x$,$y$,$z$の組を全て求めよ。ただし、
0<$x$≦$y$≦$z$　とする。

問題文全文(内容文)：
中身の見えない2つの箱A、Bがある。箱Aには白玉と赤玉がそれぞれ2個ずつ入っており、箱Bには白玉1個だけが入っている。このとき、nを正の整数として、次の操作(*)を考える。
(*)はじめに、箱Aの中身をよくかきまぜて、箱Aから玉を2個取り出し、色を確認しないで、箱Bに2個とも入れる。次に、「箱Bの中身をよくかきまぜて、箱Bから玉を1個取り出し、色を確認した後、箱Bに戻す」という作業をn回繰り返す。
操作(*)を一度行なったとき、箱Bから取り出した玉がn回ともすべて白玉である確率を$p_n$とし、箱Bから取り出した玉がn回ともすべて白玉であるという条件のもとで、はじめに箱Aから取り出した玉が2個とも白玉である条件付き確率を$q_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$p_2、q_2$を求めよ。
(2)$p_n、q_n$を求めよ。
(3)$q_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす最小のnの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$x^2+y^2+z^2=4a^2$ , $z\geqq 0$
$(x-a{)}^2+y^2=a^2$ , $z\geqq 0$
xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。

問題文全文(内容文)：
(1)$n$を自然数とするとき、$n^2$は$3$の倍数か、または$3$で割った余りが$1$であることを証明せよ。
(2)自然数$a,b,c$が$a^2+b^2=c^2$を満たすとき、$a,b$のうち少なくとも$1$つは$3$の倍数出あることを証明せよ。

数学入試問題過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$　
$n$人のクラス(ただし$n>1$)で英語と理科のテストを実施する。ただしどちらの科目にも同順位の者はいないとする。出席番号$i(i=1,2,\dots ,n)$の生徒について、その英語の順位$x$と理科の順位$y$の組を$(x_i,y_i)$で表す。
(1)変量$x$の平均値$\overline{x}$と分散$s_x^2$をそれぞれ求めると$\overline{x}=\boxed{{\displaystyle (\mathrm{あ})}},s_x^2=\boxed{{\displaystyle (\mathrm{い})}}$である。
(2)変量$x,y$の共分散$s_{xy}$とする。クラスの人数$n$が奇数の2倍であるとき、$s_{xy}\ne 0$であることを示しなさい。
(3)$i=1,2,\dots ,n$に対して$d_i=x_i-y_i$とおく。変量$x,y$の相関係数を$r$とするとき、$r$は$n$と$d_1,d_2,\dots ,d_n$を用いて$r=1-{\displaystyle \frac{6}{\boxed{{\displaystyle (\mathrm{う})}}}}\boxed{{\displaystyle (\mathrm{え})}}$と表される。
(4)$x_i$と$y_i$の間に$y_i=\boxed{{\displaystyle (\mathrm{お})}}(i=1,2,\dots ,n)$の関係があるとき$r$は最大値$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{か})}}$をとり$y_i=\boxed{{\displaystyle (\mathrm{き})}}(i=1,2,\dots ,n)$の関係があるとき$r$は最小値$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{く})}}$をとる。

2021慶應義塾大学医学部過去問