問題文全文(内容文)：
${\log }_{9}a={\log }_{12}b={\log }_{16}(a+b),{\displaystyle \frac{b}{a}}$の値を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$(1)0<x<a\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}$
$$\frac{2x}{a}<{\int }_{a-x}^{a+x}\frac{1}{t}dt<x(\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x})$$を示せ．
$(2)0.68<log2<0.71\mathrm{を}\mathrm{示}\mathrm{せ}.$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}(1)$実数$x$に関する方程式
$2\log (1-x)-\log (5-x)=\log 2$
を解くと$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である.

立教大学2022年理学部過去問

問題文全文(内容文)：
[2]a,bは正の実数であり、$a\ne 1,b\ne 1$を満たすとする。太郎さんは
${\log }_{a}b$と${\log }_{b}a$の大小関係を調べることにした。
(1)太郎さんは次のような考察をした。
まず、${\log }_{3}9=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}, {\log }_{9}3=\frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}$である、この場合

${\log }_{3}9>{\log }_{9}3$
が成り立つ。
一方、${\log }_{\frac{1}{4}}\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}=-\frac{3}{2},{\log }_{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\frac{1}{4}=-\frac{2}{3}$である。この場合

${\log }_{\frac{1}{4}}\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}<{\log }_{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\frac{1}{4}$
が成り立つ。
(2)ここで
${\log }_{a}b=t \dots \mathrm{①}$
とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、
それが正しいことを確かめることにした。
${\log }_{b}a=\frac{1}{t} \dots \mathrm{②}$
①により、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。このことにより$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$が得られ、②が
成り立つことが確かめられる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}{a}^k=t \mathrm{①}{a}^t=b \mathrm{②}{b}^a=t$
$\mathrm{③}{b}^t=a \mathrm{④}{t}^a=b \mathrm{⑤}{t}^b=a$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}a=t^{\frac{1}{b}} \mathrm{①}a=b^{\frac{1}{t}} \mathrm{②}b=t^{\frac{1}{a}}$
$\mathrm{③}b=a^{\frac{1}{t}} \mathrm{④}t=b^{\frac{1}{a}} \mathrm{⑤}t=a^{\frac{1}{b}}$

(3)次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
$t>\frac{1}{t} \dots \mathrm{③}$
を満たす実数$t(t\ne 0)$の値の範囲を求めた。
太郎さんの考察
$t>0$ならば、③の両辺にtを掛けることにより、$t^2>1$を得る。
このような$t(t>0)$の値の範囲は$1<t$である。
$t<0$ならば、③の両辺にtを掛けることにより、$t^2<1$を得る。
このような$t(t<0)$の値の範囲は$-1<t<0$である。

この考察により、③を満たす$t(t\ne 0)$の値の範囲は
$-1<t<0, 1<t$
であることが分かる。
ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式
${\log }_{a}b>{\log }_{b}a \dots \mathrm{④}$
を満たす実数$b(b>0, b\ne 1)$の値の範囲について考える。
④を満たすbの値の範囲は$a>1$のときは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$であり、
$0<a<1$のときは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}0<b<\frac{1}{a}, 1<b<a \mathrm{①}0<b<\frac{1}{a}, a<b$
$\mathrm{②}\frac{1}{a}<b<1, 1<b<a \mathrm{③}\frac{1}{a}<b<1, a<b$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}0<b<a, 1<b<\frac{1}{a} \mathrm{①}0<b<a, \frac{1}{a}<b$
$\mathrm{②}a<b<1, 1<b<\frac{1}{a} \mathrm{③}a<b<1, \frac{1}{a}<b$

(4)$p=\frac{12}{13}, q=\frac{12}{11}, r=\frac{14}{13}$とする。
次の⓪～③のうち、正しいものは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}{\log }_{p}q>{\log }_{q}p$かつ${\log }_{p}r>{\log }_{r}p$
$\mathrm{①}{\log }_{p}q>{\log }_{q}p$かつ${\log }_{p}r<{\log }_{r}p$
$\mathrm{②}{\log }_{p}q<{\log }_{q}p$かつ${\log }_{p}r>{\log }_{r}p$
$\mathrm{③}{\log }_{p}q<{\log }_{q}p$かつ${\log }_{p}r<{\log }_{r}p$

2022共通テスト数学過去問