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aは自然数とする。a+2は6の倍数であり,a+6は8の倍数であるとき,a+14は24の倍数であることを証明せよ【数A】【整数の性質｜最小公倍数、最大公約数の基本】
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$a$ は自然数とする。$a+2$ は $6$ の倍数であり、$a+6$ は $8$ の倍数であるとき、$a+14$ は $24$ の倍数であることを証明せよ。
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$a$ は自然数とする。$a+2$ は $6$ の倍数であり、$a+6$ は $8$ の倍数であるとき、$a+14$ は $24$ の倍数であることを証明せよ。
3つの自然数40,56,nの最大公約数が8,最小公倍数が1400であるとき,nをすべて求めよ。【数A】【整数の性質｜最小公倍数、最大公約数の基本】
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
3つの自然数 $40$、$56$、$n$ の最大公約数が $8$、最小公倍数が $1400$ であるとき、$n$ をすべて求めよ。
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3つの自然数 $40$、$56$、$n$ の最大公約数が $8$、最小公倍数が $1400$ であるとき、$n$ をすべて求めよ。
nは正の整数とする。次のようなnをすべて求めよ。(1)nと36の最小公倍数が504 (2)nと48の最小公倍数が720【数A】【整数の性質｜最小公倍数、最大公約数の基本】
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#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#整数の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$n$ は正の整数とする。次のような $n$ をすべて求めよ。
(1) $n$ と $36$ の最小公倍数が $504$
(2) $n$ と $48$ の最小公倍数が $720$
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$n$ は正の整数とする。次のような $n$ をすべて求めよ。
(1) $n$ と $36$ の最小公倍数が $504$
(2) $n$ と $48$ の最小公倍数が $720$
一辺の長さが５の正八面体について、次のものを求めよ。(1)正八面体の体積V (2)正八面体に内接する球の半径ｒ【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
一辺の長さが $5$ の正八面体について、次のものを求めよ。
(1) 正八面体の体積 $V$
(2) 正八面体に内接する球の半径 $r$
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一辺の長さが $5$ の正八面体について、次のものを求めよ。
(1) 正八面体の体積 $V$
(2) 正八面体に内接する球の半径 $r$
立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。（以下略）【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。このとき、次の場合について、正八面体の体積を求めよ。
(1) 立方体の1辺の長さが $10$
(2) 正八面体の1辺の長さが $6$
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立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。このとき、次の場合について、正八面体の体積を求めよ。
(1) 立方体の1辺の長さが $10$
(2) 正八面体の1辺の長さが $6$
直方体 ABCD-EFGHにおいて，辺AB，AD，AEの長さをそれぞれa，b，cとする。また，頂点Aから直線FHに下ろした垂線をAK とする。（以下略）【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ において、辺 $AB$、$AD$、$AE$ の長さをそれぞれ $a$、$b$、$c$ とする。また、頂点 $A$ から直線 $FH$ に下ろした垂線を $AK$ とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $EK\perp FH$ であることを証明せよ。
(2) 垂線 $AK$ の長さを求めよ。
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直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ において、辺 $AB$、$AD$、$AE$ の長さをそれぞれ $a$、$b$、$c$ とする。また、頂点 $A$ から直線 $FH$ に下ろした垂線を $AK$ とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $EK\perp FH$ であることを証明せよ。
(2) 垂線 $AK$ の長さを求めよ。
四面体ABCD において，辺AB と辺CDが垂直ならば，頂点Aから平面BCDに下ろした垂線AHと，頂点Bから平面CDAに下ろした垂線BKは交わることを示せ。【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
四面体 $ABCD$ において、辺 $AB$ と辺 $CD$ が垂直ならば、頂点 $A$ から平面 $BCD$ に下ろした垂線 $AH$ と、頂点 $B$ から平面 $CDA$ に下ろした垂線 $BK$ は交わることを示せ。ただし、$H$ と $B$、$K$ と $A$ はそれぞれ一致しないものとする。
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四面体 $ABCD$ において、辺 $AB$ と辺 $CD$ が垂直ならば、頂点 $A$ から平面 $BCD$ に下ろした垂線 $AH$ と、頂点 $B$ から平面 $CDA$ に下ろした垂線 $BK$ は交わることを示せ。ただし、$H$ と $B$、$K$ と $A$ はそれぞれ一致しないものとする。
右の図の立方体について、次の問いに答えよ。(1) 辺BF と垂直な面をすべて答えよ。(2) 平面 BFHD と平行な辺をすべて答えよ。ほか【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
右の図の立方体について、次の問いに答えよ。
(1) 辺 $BF$ と垂直な面をすべて答えよ。
(2) 平面 $BFHD$ と平行な辺をすべて答えよ。
(3) この立方体に、平行な位置関係にある面は何組あるか。
(4) 平面 $ABGH$ と垂直な面をすべて答えよ。
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右の図の立方体について、次の問いに答えよ。
(1) 辺 $BF$ と垂直な面をすべて答えよ。
(2) 平面 $BFHD$ と平行な辺をすべて答えよ。
(3) この立方体に、平行な位置関係にある面は何組あるか。
(4) 平面 $ABGH$ と垂直な面をすべて答えよ。
右の図は，正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形ABCDEF について，辺AB と平行な辺を答えよ。【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
右の図は、正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形 $ABCDEF$ について、辺 $AB$ と平行な辺を答えよ。
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右の図は、正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形 $ABCDEF$ について、辺 $AB$ と平行な辺を答えよ。
空間内の異なる2つの直線ℓ 、m と異なる2つの平面α,βについて，次の記述は常に正しいか。(1) ℓ⊥α、ｍ⊥αならば、ℓ⊥ｍである。ほか【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
空間内の異なる2つの直線 $\ell$、$m$ と異なる2つの平面 $\alpha$、$\beta$ について、次の記述は常に正しいか。
(1) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell\perp m$ である。
(2) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\alpha /\!/ \beta$ である。
(3) $\ell /\!/ \alpha$、$m /\!/ \alpha$ ならば、$\ell /\!/ m$ である。
(4) $\ell /\!/ \alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell$ と平行で $m$ と垂直な直線がある。
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空間内の異なる2つの直線 $\ell$、$m$ と異なる2つの平面 $\alpha$、$\beta$ について、次の記述は常に正しいか。
(1) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell\perp m$ である。
(2) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\alpha /\!/ \beta$ である。
(3) $\ell /\!/ \alpha$、$m /\!/ \alpha$ ならば、$\ell /\!/ m$ である。
(4) $\ell /\!/ \alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell$ と平行で $m$ と垂直な直線がある。
右の図のように,直線と円Oおよびその中心が与えられている。 直線lに平行な円Oの接線を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
右の図のように、直線 $l$ と円 $O$ およびその中心が与えられている。直線 $l$ に平行な円 $O$ の接線を作図せよ。
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右の図のように、直線 $l$ と円 $O$ およびその中心が与えられている。直線 $l$ に平行な円 $O$ の接線を作図せよ。
右の図のような円があり,その周上に点Aがある。Aを頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
右の図のような円があり、その周上に点 $A$ がある。$A$ を頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
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右の図のような円があり、その周上に点 $A$ がある。$A$ を頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
線分ABが与えられたとき, 線分ABを斜辺とし, ∠BAC=60° である直角三角形ABC を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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問題文全文(内容文)：
線分 $AB$ が与えられたとき、線分 $AB$ を斜辺とし、$\angle BAC=60^{\circ}$ である直角三角形 $ABC$ を作図せよ。
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線分 $AB$ が与えられたとき、線分 $AB$ を斜辺とし、$\angle BAC=60^{\circ}$ である直角三角形 $ABC$ を作図せよ。
ある確率変数Xの確率分布が右の表で与えられている。Xの期待値が3.2であるとき，p，qの値を求めよ。【数B】【統計的な推測｜確率変数の期待値と分散】
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#確率分布と統計的推測#中高教材
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
ある確率変数 $X$ の確率分布が右の表で与えられている。$X$ の期待値が $3.2$ であるとき、$p,\ q$ の値を求めよ。
$X\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5$
$P\ \ p\ \ q\ \ p\ \ p\ \ q$
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ある確率変数 $X$ の確率分布が右の表で与えられている。$X$ の期待値が $3.2$ であるとき、$p,\ q$ の値を求めよ。
$X\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5$
$P\ \ p\ \ q\ \ p\ \ p\ \ q$
座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標（x，y）が，x=e⁻ᵗsint，y=e⁻ᵗcostで表されるとき，速度vとOPのなす角θを求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
単元：
#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、$x=e^{-t}\sin t$、
$y=e^{-t}\cos t$ で表されるとき、速度 $\vec{v}$ と $\overrightarrow{OP}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、O
は原点 $(0,\ 0)$ とする。
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、$x=e^{-t}\sin t$、
$y=e^{-t}\cos t$ で表されるとき、速度 $\vec{v}$ と $\overrightarrow{OP}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、O
は原点 $(0,\ 0)$ とする。
座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標（x，y）が，x=2（ωt−sinωt），y=2（1−cosωt）で表されるとき，速さvの最大値とtの値を求めよ【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
単元：
#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、
$x=2(\omega t-\sin\omega t),\ y=2(1-\cos\omega t)$ で表されるとき、速さ $|\vec{v}|$ の最大値と、
そのときの $t$ の値を求めよ。ただし、$\omega$ は正の定数とする。
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、
$x=2(\omega t-\sin\omega t),\ y=2(1-\cos\omega t)$ で表されるとき、速さ $|\vec{v}|$ の最大値と、
そのときの $t$ の値を求めよ。ただし、$\omega$ は正の定数とする。
水面から30mの高さの岸壁の上から58mの距離にある船を綱で引き寄せる。毎秒4mの速さで綱をたぐるとき，2秒後の船の速さを求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
単元：
#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
水面から 30 m の高さの岸壁の上から 58 m の距離にある船を網で引き寄せる。
毎秒 4 m の速さで網をたぐるとき、2 秒後の船の速さを求めよ。
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水面から 30 m の高さの岸壁の上から 58 m の距離にある船を網で引き寄せる。
毎秒 4 m の速さで網をたぐるとき、2 秒後の船の速さを求めよ。
4次方程式x⁴+ax³+bx²−2b+2=0がx=2を重解にもつとき，定数a，bの値を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
4 次方程式 $x^4+ax^3+bx^2-2b+2=0$ が $x=2$ を重解にもつとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。
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4 次方程式 $x^4+ax^3+bx^2-2b+2=0$ が $x=2$ を重解にもつとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。
点P（a，0）から曲線y=xeˣに接線が引けるためのaの条件を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
点 $\mathrm{P}(a,\ 0)$ から曲線 $y=xe^x$ に接線が引けるための $a$ の条件を求めよ。
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点 $\mathrm{P}(a,\ 0)$ から曲線 $y=xe^x$ に接線が引けるための $a$ の条件を求めよ。
曲線xy=k（k≠0）上の任意の点Pにおける接線が，x軸，y軸と交わる点を，それぞれQ，Rとするとき，△OQRの面積は一定であることを示せ。ただし，Oは原点とする【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
曲線 $xy=k\ (k\ne0)$ 上の任意の点 P における接線が、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点を、それぞれ Q、R とするとき、$\triangle OQR$ の面積は一定であることを示せ。ただし、O は原点とする。
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曲線 $xy=k\ (k\ne0)$ 上の任意の点 P における接線が、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点を、それぞれ Q、R とするとき、$\triangle OQR$ の面積は一定であることを示せ。ただし、O は原点とする。
関数1/√xの定積分を用いて，次の不等式を証明せよ。ただし，nは自然数とする。2（√（n+1）−1）＜1+1/√2+1/√3+……+1/√n≦2√n−1【数Ⅲ】【積分法｜定積分の種々の問題】
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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問題文全文(内容文)：
関数 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ の定積分を用いて、次の不等式を証明せよ。ただし、$n$ は自然数とする。
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq2\sqrt{n}-1$
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関数 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ の定積分を用いて、次の不等式を証明せよ。ただし、$n$ は自然数とする。
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq2\sqrt{n}-1$
次の不等式を証明せよ。（1）π/2＜∫0π/2 dx/√（1−1/2sin²x）＜π/√2（2）1/3＜∫0¹e（sinx+cosx）²dx＜1/2【数Ⅲ】【積分法｜定積分の種々の問題】
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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問題文全文(内容文)：
次の不等式を証明せよ。
(1) $\dfrac{\pi}{2}<\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sin^2x}}<\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$
(2) $\dfrac{1}{3}<\displaystyle \int_0^1x^{(\sin x+\cos x)^2}dx<\dfrac{1}{2}$
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次の不等式を証明せよ。
(1) $\dfrac{\pi}{2}<\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sin^2x}}<\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$
(2) $\dfrac{1}{3}<\displaystyle \int_0^1x^{(\sin x+\cos x)^2}dx<\dfrac{1}{2}$
定積分を用いて，次の極限値を求めよ。（1）limn→∞1/n（sinπ/2n+sin2π/2n+sin3π/2n+……+sinnπ/2n）他【数Ⅲ】【積分法｜定積分の種々の問題】
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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問題文全文(内容文)：
定積分を用いて、次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(\sin\dfrac{\pi}{2n}+\sin\dfrac{2\pi}{2n}+\sin\dfrac{3\pi}{2n}+\cdots+\sin\dfrac{n\pi}{2n}\right)$
(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left\{\left(\dfrac{n}{n}\right)^2+\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2+\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{n}{2n-1}\right)^2\right\}$
(3) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^2+1^2}+\dfrac{2}{n^2+2^2}+\dfrac{3}{n^2+3^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n^2}\right)$
(4) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2}\{(\sqrt{1}+\sqrt{n})^2+(\sqrt{2}+\sqrt{n})^2+\cdots+(\sqrt{n}+\sqrt{n})^2\}$
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定積分を用いて、次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(\sin\dfrac{\pi}{2n}+\sin\dfrac{2\pi}{2n}+\sin\dfrac{3\pi}{2n}+\cdots+\sin\dfrac{n\pi}{2n}\right)$
(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left\{\left(\dfrac{n}{n}\right)^2+\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2+\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{n}{2n-1}\right)^2\right\}$
(3) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^2+1^2}+\dfrac{2}{n^2+2^2}+\dfrac{3}{n^2+3^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n^2}\right)$
(4) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2}\{(\sqrt{1}+\sqrt{n})^2+(\sqrt{2}+\sqrt{n})^2+\cdots+(\sqrt{n}+\sqrt{n})^2\}$
limn→∞1/n³{（n+1）²+（n+2）²+（n+3）²+…+（2n）²}…とおく（1）Σk=1ⁿk²=1/6n（n+1）（2n+1）を用いて値を求めよ【数Ⅲ】【積分法｜定積分の種々の問題】
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\{(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+\cdots+(2n)^2\}\ \cdots\cdots(A)$ とおく。
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を用いて、$(A)$ の値を求めよ。
(2) $(A)$ を定積分で表し、その値を計算せよ。
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$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\{(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+\cdots+(2n)^2\}\ \cdots\cdots(A)$ とおく。
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を用いて、$(A)$ の値を求めよ。
(2) $(A)$ を定積分で表し、その値を計算せよ。
次の等式を満たす関数f（x）と定数aの値を求めよ。（1）∫π/2ˣ（x−t）f（t）dt=sinx−a（2）x+∫aˣ（x−t）f（t）dt=eˣ−1【数Ⅲ】【積分法｜定積分の種々の問題】
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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問題文全文(内容文)：
次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^x(x-t)f(t)dt=\sin x-a$
(2) $x+\displaystyle \int_a^x(x-t)f(t)dt=e^x-1$
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次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^x(x-t)f(t)dt=\sin x-a$
(2) $x+\displaystyle \int_a^x(x-t)f(t)dt=e^x-1$
図のように，半径3の外接する2円A, Bが、半径8の円Oに内接している。2円A, Bに外接し，円Oに内接する円Cの半径を求めよ。【数A】【図形の性質｜円の位置関係】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
図のように、半径3の外接する2円 $A$、$B$ が、半径8の円 $O$ に内接している。2円 $A$、$B$ に外接し、円 $O$ に内接する円 $C$ の半径を求めよ。
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図のように、半径3の外接する2円 $A$、$B$ が、半径8の円 $O$ に内接している。2円 $A$、$B$ に外接し、円 $O$ に内接する円 $C$ の半径を求めよ。
次の不等式が成り立つことを証明せよ（1）1/2²+1/3²+1/4²+…+1/n²＜1−1/n（2）1/2³+1/3³+1/4³+…+1/n³＜1/2−1/2n²【数Ⅲ】【積分法｜定積分の種々の問題】
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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$n$ が 2 以上の整数であるとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
*(1) $\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots+\dfrac{1}{n^3}<1-\dfrac{1}{n}$
(2) $\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots+\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n^2}$
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$n$ が 2 以上の整数であるとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
*(1) $\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots+\dfrac{1}{n^3}<1-\dfrac{1}{n}$
(2) $\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots+\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n^2}$
数直線上の原点を中心とする半径3の円Oと、この数直線上を動く点Pを中心とする半径2の円Pがある。（中略）次の件を満たすとの値,またはtの値の範囲を求めよ。（以下略）【数A】【図形の性質｜円の位置関係】
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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図のように、数直線上の原点を中心とする半径3の円 $O$ と、この数直線上を動く点 $P$ を中心とする半径2の円 $P$ がある。$P$ の座標を $t$ とするとき、次の条件を満たす $t$ の値、または $t$ の値の範囲を求めよ。
(1) 2円 $O$、$P$ の共通接線が4本引ける。
(2) 2円 $O$、$P$ の共有点が1個である。
(3) 2円 $O$、$P$ の共通接線が、座標が6である数直線上の点 $A$ を通る。
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図のように、数直線上の原点を中心とする半径3の円 $O$ と、この数直線上を動く点 $P$ を中心とする半径2の円 $P$ がある。$P$ の座標を $t$ とするとき、次の条件を満たす $t$ の値、または $t$ の値の範囲を求めよ。
(1) 2円 $O$、$P$ の共通接線が4本引ける。
(2) 2円 $O$、$P$ の共有点が1個である。
(3) 2円 $O$、$P$ の共通接線が、座標が6である数直線上の点 $A$ を通る。
下の図において、角θを求めよ。【数A】【図形の性質｜円に内接する図形】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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下の図において、角 $\theta$ を求めよ。
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下の図において、角 $\theta$ を求めよ。
鋭角三角形ABCの垂心をHとし、AHがBCと交わる点をD、△ABCの外接円と交わる点をEとする。このとき、Dは線分HEの中点であることを証明せよ。【数A】【図形の性質｜円に内接する図形】
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鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ が $BC$ と交わる点を $D$、$\triangle ABC$ の外接円と交わる点を $E$ とする。このとき、$D$ は線分 $HE$ の中点であることを証明せよ。
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鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ が $BC$ と交わる点を $D$、$\triangle ABC$ の外接円と交わる点を $E$ とする。このとき、$D$ は線分 $HE$ の中点であることを証明せよ。