福田の数学〜上智大学2022年TEAP理系型第４問〜媒介変数で表された極方程式

問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え
る。平面上を運動する点Pの極座標

(r, θ)

が、時刻

t ≧ 0

の関数として、

r = 1 + t, θ = \log (1 + t)

で与えられるとする。時刻

t = 0

にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで
にPが描く軌跡をCとする。
(1)

t > 0

において、Pが初めてy軸上に到着するときのtの値を求めよ。
(2)C上の点のx座標の最大値を求めよ。
(3)Cの長さを求めよ。
(4)Cを座標平面上に図示せよ。
(5)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022上智大学理系過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え
る。平面上を運動する点Pの極座標

(r, θ)

が、時刻

t ≧ 0

の関数として、

r = 1 + t, θ = \log (1 + t)

で与えられるとする。時刻

t = 0

にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで
にPが描く軌跡をCとする。
(1)

t > 0

投稿日：2022.10.14

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題004〜東北大学2015年理系数学第１問

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#東北大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面において、次の式が表す曲線をCとする。

x^{2} + 4 y^{2} = 1, x > 0, y > 0

PをC上の点とする。PでCに接する直線をlとし、Pを通りlと垂直な直線を
mとして、x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSとする。PがC
上の点全体をうごくとき、Sの最大値とその時のPの座標を求めよ。

2015東北大学理系過去問

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福田の数学〜上智大学2021年理工学部第１問〜双曲線の方程式と回転体の体積

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　媒介変数表示

x = \frac{2}{\cos θ}, y = 3 \tan θ + 1

で表される図形Cを考える。

(1)Cは頂点

(\pm ア, イ)

、焦点

(\pm \sqrt{ウ}, エ)

、
漸近線

y = \pm \frac{オ}{カ} x + キ

をもつ双曲線である。
(2)双曲線Cと直線

x = 4

は、2点

(4, ク \pm ケ \sqrt{コ})

で交わる。\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi　である。
\end{eqnarray}

2021上智大学理工学部過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

接線(2)　媒介変数表示の接線

{\begin{matrix} x = θ - \sin θ \\ y = 1 - \cos θ \end{matrix}

で表される曲線の

θ = \frac{3 π}{2}

のときの点Pにおける接線を求めよ。

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福田のわかった数学〜高校３年生理系058〜微分(3)媒介変数表示の微分

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

III

　微分(3)　媒介変数表示

x = a (θ - \sin θ), y = a (1 - \cos θ)

のとき、

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

を

θ

で表せ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜上智大学2022年TEAP理系型第４問〜媒介変数で表された極方程式

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