問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。

(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。

(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、

$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$

という関係式が成立する。

また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。

ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。

(3)関係式

$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$

を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。

(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。

$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
1枚のコインを6回投げるとき、次の確率を求めよ。
（1）表が4回出る確率
（2）表が5回以上出る確率
（3）表の出る回数が3回以下である確率

問題文全文(内容文)：
10個のりんごを3人に分ける分け方は何通りか？

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$(3)3個のさいころを1回投げるとき、出た目の最大値が3となる確率は
$\boxed{エ}$であり、また、出た目の積が8となる確率は$\boxed{オ}$である。

2021立教大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$a,a,b,b,c,d,e,f$の8文字をすべて並べて文字列をつくる。
文字$a$と文字$e$は母音字である。
（1）文字列は全部で何通りあるか。
（2）同じ文字が連続して並ばない文字列は何通りできるか。
（3）母音字が3つ連続して並ぶ文字列は何通りできるか。
（4）母音字が連続して並ばない文字列は何通りできるか。