福田の数学〜早稲田大学2022年理工学部第５問〜対数関数の極限と変曲点とグラフの接線

問題文全文(内容文)：

5 a > 0

を定数とし、

f (x) = x^{a} \log x

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

lim_{x \to + 0} f (x)

を求めよ。必要ならば

lim_{s \to \infty} s e^{- s} = 0

が成り立つことは
証明なしに用いてよい。
(2)曲線

y = f (x)

の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。
さらにそのとき

y = f (x)

のグラフの概形を描け。
(3)

t > 0

に対して、曲線

y = f (x)

上の点(t,f(t))における接線をlとする。
lがy軸の負の部分と交わるための

(a, t)

の条件を求め、その条件の表す領域を
a-t平面上に図示せよ。

2022早稲田大学人間科学部過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5 a > 0

を定数とし、

f (x) = x^{a} \log x

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

lim_{x \to + 0} f (x)

を求めよ。必要ならば

lim_{s \to \infty} s e^{- s} = 0

が成り立つことは
証明なしに用いてよい。
(2)曲線

y = f (x)

の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。
さらにそのとき

y = f (x)

のグラフの概形を描け。
(3)

t > 0

に対して、曲線

y = f (x)

上の点(t,f(t))における接線をlとする。
lがy軸の負の部分と交わるための

(a, t)

の条件を求め、その条件の表す領域を
a-t平面上に図示せよ。

2022早稲田大学人間科学部過去問

投稿日：2022.07.29

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大学入試問題#98　千葉大学医学部(2018)　積分・極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
（1）

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t - x} \sin (t + x) d t

を求めよ。

（2）

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

を求めよ。

出典：2018年千葉大学　入試問題

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大学入試問題#118　防衛医科大学(2012)　区分求積法

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#防衛医科大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4 n)!}{(3 n)!}}

を求めよ。

出典：2012年防衛医科大学　入試問題

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福田のわかった数学〜高校３年生理系025〜極限(25)関数の極限、三角関数の極限(5)

単元： #関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　三角関数の極限(5)

lim_{x \to 0} \frac{\tan x °}{x}

　を求めよ。

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林俊介　語りかける東大数学

単元： #対数関数#関数と極限

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
(1)

n \in Z +

g (x) := \begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{\cos (π x) + 1}{2} (| x | \leq 1) \\ 0 (| x | > 1) \end{cases} \end{array}

f (x) :

連続であり,

p, q \in R

| x | \leq \frac{1}{n}

でつねに

p \leq f (x) \leq q

p \leq n \frac{\int_{- 1}^{1} g (n x) f (x) d x \leq q}{I}

を示せ.

(2)

ｈ (x) =: \begin{array}{r} {\begin{cases} - \frac{π}{2} \sin (π x) (| x | \leq 1) \\ 0 (| x | > 1) \end{cases} \end{array}

次の極限を求めよ.

lim_{n \to \infty} n^{2} \int_{- 1}^{1} h (n x) \log (1 + e^{x + 1}) d x

(1)

g (x) = \begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{\cos (π x) + 1}{2} (| x | \leq 1) \\ 0 (| x | > 1) \end{cases} \end{array}

p \leq n \int_{- 1}^{1} g (n x) f (x) d x \leq q

2015東大過去問

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大学入試問題#411「私学の医学科は3乗根の極限がお好き？」　藤田医科大学2022　#極限

単元： #関数と極限#関数の極限#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 8} \frac{x^{2} - 9 x + 8}{\sqrt[3]{x} - 2}

出典：2022年藤田医科大学　入試問題

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜早稲田大学2022年理工学部第５問〜対数関数の極限と変曲点とグラフの接線

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