問題文全文(内容文)：
nを自然数とする.
$(4n-1)^{2n+1}+(4n+1)^{2n-1}$は$32n^2$で割り切れることを示せ.

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$　三角形ABCの内接円の半径をr,　外接円の半径をRとし、h=$\frac{r}{R}$とする。
また、$\angle$A=2α,　$\angle$B=2β,　$\angle$C=2γ とおく。
(1)h=4$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$となることを示せ。
(2)三角形ABCが直角三角形のときh≦$\sqrt 2-1$が成り立つことを示せ。
また、等号が成り立つのはどのような場合か。
(3)一般の三角形ABCに対してh≦$\frac{1}{2}$が成り立つことを示せ。また等号が成り立つのはどのような場合か。

2018東北大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$4x^4+2025x^2$を因数分解せよ

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 問1　nを自然数とする。1個のさいころをn回投げるとき、出た目の積が5で割り切れる確率を求めよ。
問2　次の式の分母を有理化し、分母に3乗根の記号が含まれない式として表せ。
$\frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}$

2023京都大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
点$Z$を端点とする半直線$ZX$と半直線$ZY$があり、$0° \lt \angle XZY \lt 90°$とする。
また、$0° \lt \angle SZX \lt \angle XZY$かつ$0° \lt \angle SZY \lt \angle XZY$を満たす点$S$をとる。
点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円を作図したい。
円$O$を、次の$(Step\ 1)～(Step\ 5)$の手順で作図する。

手順
$(Step\ 1)　\angle XZY$の二等分線$l$上に点$C$をとり、下図(※動画参照)のように半直線$ZX$
と半直線$ZY$の両方に接する円$C$を作図する。また、円$C$と半直線$ZX$との接点を$D,$
半直線$ZY$との接点を$E$とする。
$(Step\ 2)$　円Cと直線$ZS$との交点の一つを$G$とする。
$(Step\ 3)$　半直線$ZX$上に点$H$を$DG//HS$を満たすようにとる。
$(Step\ 4)$　点$H$を通り、半直線$ZX$に垂直な直線を引き、$l$との交点を$O$とする。
$(Step\ 5)$　点$O$を中心とする半径$OH$の円$O$をかく。

(1)$(Step\ 1)～(Step\ 5)$の手順で作図した円$O$が求める円であることは、次の構想に
基づいて下のように説明できる。

構想:円$O$が点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円であることを
示すには、$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$が成り立つことを示せばよい。

作図の手順より、$\triangle ZDG$と$\triangle ZHS$との関係、および$\triangle ZDC$と$\triangle ZHO$との
関係に着目すると
$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}:\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
$DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}=\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}:\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$

であるから、$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$となる。
ここで、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$\angle CDG=\angle \boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$で
あるので、$\triangle CDG$と$\triangle \boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$との関係に着目すると、$CD=CG$より
$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$であることがわかる。
なお、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$DG=\boxed{\ \ キ\ \ }DC$となり、
$DG:\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}=DC:\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$より$OH=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$である
ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$DH$　①$HO$　②$HS$　③$OD$　④$OG$
⑤$OS$　⑥$ZD$　⑦$ZH$　⑧$ZO$　⑨$ZS$

$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$の解答群
⓪$OHD$　①$OHG$　②$OHS$　③$ZDS$
④$ZHG$　⑤$ZHS$　⑥$ZOS$　⑦$ZCG$


(2)点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円は二つ作図できる。
特に、点$S$が$\angle XZY$の二等分線$l$上にある場合を考える。半径が大きい方の
円の中心を$O_1$とし、半径が小さい方の円の中心を$O_2$とする。また、円$O_2$と
半直線$ZY$が接する点を$I$とする。円$O_1$と半直線$ZY$が接する点を$J$とし、円$O_1$と
半直線$ZX$が接する点を$K$とする。
作図をした結果、円$O_1$の半径は$5$,　円$O_2$の半径は3であったとする。このとき、
$IJ=\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$である。さらに、円$O_1$と円$O_2$の接点$S$に
おける共通接線と半直線$ZY$との交点を$L$とし、
直線$LK$と円$O_1$との交点で点$K$とは異なる点を$M$とすると

$LM・LK=\boxed{\ \ サシ\ \ }$

である。
また、$ZI=\boxed{\ \ ス\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ セソ\ \ }}$であるので、直線$LK$と直線$l$との交点を$N$とすると

$\displaystyle \frac{LN}{NK}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }},　SN=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}$

である。

2021共通テスト過去問