集合と命題（集合・命題と条件・背理法）
集合と命題（集合・命題と条件・背理法）
ｐ、ｑは有理数、Xが無理数でｐ+qX=0であるならば p=q=0であることを証明せよ【数Ⅰ】【集合と論証｜有理数、無理数の証明】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$p$、$q$ は有理数、$X$ が無理数で $p+qX=0$ であるならば $p=q=0$ であることを証明せよ。
この動画を見る
$p$、$q$ は有理数、$X$ が無理数で $p+qX=0$ であるならば $p=q=0$ であることを証明せよ。
次の条件を満たす有理数ｐ、ｑの値を求めよ。（１）（√2-1）p＋q√2＝2+√2（２）p/（√2-1）+q/√2=1【数Ⅰ】【集合と論証｜有理数、無理数の証明 】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす有理数 $p$、$q$ の値を求めよ。
(1) $(\sqrt{2}-1)p+q\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$
(2) $\dfrac{p}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{q}{\sqrt{2}}=1$
この動画を見る
次の条件を満たす有理数 $p$、$q$ の値を求めよ。
(1) $(\sqrt{2}-1)p+q\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$
(2) $\dfrac{p}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{q}{\sqrt{2}}=1$
a,bは実数とする。次の2つの条件ｐ、ｑは同値であることを証明せよ。p:a＞１かつb＞１ q:a+b＞２かつ(a-1)(b-1)＞０【数Ⅰ】【集合と論証｜背理法の使い方】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a$、$b$ は実数とする。次の2つの条件 $p$、$q$ は同値であることを証明せよ。
$p:\ a>1$ かつ $b>1$
$q:\ a+b>2$ かつ $(a-1)(b-1)>0$
この動画を見る
$a$、$b$ は実数とする。次の2つの条件 $p$、$q$ は同値であることを証明せよ。
$p:\ a>1$ かつ $b>1$
$q:\ a+b>2$ かつ $(a-1)(b-1)>0$
次の▢の中に、「必要条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうちどれが適するか。【数Ⅰ】【集合と論証｜背理法の使い方】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x$、$y$、$z$ は実数とする。次の $\square$ の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。
(1) $(x-y)(y-z)=0$ は $x=y=z$ であるための $\square$
(2) 「$x>0$ かつ $y>0$」は、$xy>0$ であるための $\square$
(3) $x=y=0$ は、「$xy=0$ かつ $x+y=0$」であるための $\square$
(4) $\angle A<90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための $\square$
(5) $\triangle ABC$ の3辺 $BC$、$CA$、$AB$ の長さがそれぞれ $a$、$b$、$c$ とする。$(a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0$ は $\triangle ABC$ が直角二等辺三角形であるための $\square$
この動画を見る
$x$、$y$、$z$ は実数とする。次の $\square$ の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。
(1) $(x-y)(y-z)=0$ は $x=y=z$ であるための $\square$
(2) 「$x>0$ かつ $y>0$」は、$xy>0$ であるための $\square$
(3) $x=y=0$ は、「$xy=0$ かつ $x+y=0$」であるための $\square$
(4) $\angle A<90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための $\square$
(5) $\triangle ABC$ の3辺 $BC$、$CA$、$AB$ の長さがそれぞれ $a$、$b$、$c$ とする。$(a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0$ は $\triangle ABC$ が直角二等辺三角形であるための $\square$
√6が無理数であることを用いて、√3－√2は無理数であることを証明せよ。【数Ⅰ】【集合と論証｜対偶の使い方】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ は無理数であることを証明せよ。
この動画を見る
$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ は無理数であることを証明せよ。
ｍ、nは整数とする。次の命題を証明せよ。（１）n²が5の倍数ならば、nは５の倍数である。（２）mnが３の倍数ならば、m,nの少なくとも一方は３の倍数である。ほか【数Ⅰ】【集合と論証｜対偶の使い方】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$m$、$n$ は整数とする。次の命題を証明せよ。
(1) $n^{2}$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数である。
(2) $mn$ が3の倍数ならば、$m$、$n$ の少なくとも一方は3の倍数である。
この動画を見る
$m$、$n$ は整数とする。次の命題を証明せよ。
(1) $n^{2}$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数である。
(2) $mn$ が3の倍数ならば、$m$、$n$ の少なくとも一方は3の倍数である。
全体集合をUとし、条件p、qを満たす全体の集合を、それぞれＰ．Ｑとする。命題p（補集合）⇒qが真であるとき、P、Qについて常に成り立つ事をすべて選べ。①P＝Qほか【数Ⅰ】【集合と論証｜真偽の調べ方】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
全体集合を $U$ とし、条件 $p$、$q$ を満たす全体の集合を、それぞれ $P$、$Q$ とする。命題 $\overline{p}\Rightarrow q$ が真であるとき、$P$、$Q$ について常に成り立つことをすべて選べ。
$①\ P=Q$
$②\ Q\subset P$
$③\ \overline{Q}\subset P$
$④\ P\subset\overline{Q}$
$⑤\ P\cup\overline{Q}=P$
$⑥\ P\cup\overline{Q}=\overline{Q}$
$⑦\ P\cap Q=\emptyset$
$⑧\ P\cup Q=U$
この動画を見る
全体集合を $U$ とし、条件 $p$、$q$ を満たす全体の集合を、それぞれ $P$、$Q$ とする。命題 $\overline{p}\Rightarrow q$ が真であるとき、$P$、$Q$ について常に成り立つことをすべて選べ。
$①\ P=Q$
$②\ Q\subset P$
$③\ \overline{Q}\subset P$
$④\ P\subset\overline{Q}$
$⑤\ P\cup\overline{Q}=P$
$⑥\ P\cup\overline{Q}=\overline{Q}$
$⑦\ P\cap Q=\emptyset$
$⑧\ P\cup Q=U$
a,bは実数とする。次の命題の真偽を求めよ。（１）ab=0ならばa²+b²=0である。（２）a²=4ならば|a+1|≧1である。ほか【数Ⅰ】【集合と論証｜真偽の調べ方】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a$、$b$ は実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
(1) $ab=0$ ならば $a^{2}+b^{2}=0$ である。
(2) $a^{2}=4$ ならば $|a+1|\geqq1$ である。
(3) $ab$ が有理数であるならば、$a$、$b$ はともに有理数である。
(4) $a+b$、$ab$ がともに有理数ならば、$a$、$b$ はともに有理数である。
(4) $a+b$、$ab$ がともに有理数ならば、$a$、$b$ はともに有理数である。
この動画を見る
$a$、$b$ は実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
(1) $ab=0$ ならば $a^{2}+b^{2}=0$ である。
(2) $a^{2}=4$ ならば $|a+1|\geqq1$ である。
(3) $ab$ が有理数であるならば、$a$、$b$ はともに有理数である。
(4) $a+b$、$ab$ がともに有理数ならば、$a$、$b$ はともに有理数である。
(4) $a+b$、$ab$ がともに有理数ならば、$a$、$b$ はともに有理数である。
U＝{x|1≦x≦10、xは整数} Uの部分集合A＝｛1,2,3,4,8｝B＝｛3,4,5,6｝C｛2,3,6,7｝について、次の集合を求めよ。【数Ⅰ】【集合と論証｜集合:ベン図を利用した問題】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$U=\{x\mid1\leqq x\leqq10、xは整数\}$ を全体集合とする。$U$ の部分集合 $A=\{1,2,3,4,8\}$、$B=\{3,4,5,6\}$、$C=\{2,3,6,7\}$ について、次の集合を求めよ。
(1) $A\cap B\cap C$
(2) $A\cup B\cup C$
(3) $A\cap B\cap\overline{C}$
(4) $\overline{A}\cap B\cap\overline{C}$
(5) $\overline{A\cap B\cap C}$
(6) $(A\cup C)\cap\overline{B}$
この動画を見る
$U=\{x\mid1\leqq x\leqq10、xは整数\}$ を全体集合とする。$U$ の部分集合 $A=\{1,2,3,4,8\}$、$B=\{3,4,5,6\}$、$C=\{2,3,6,7\}$ について、次の集合を求めよ。
(1) $A\cap B\cap C$
(2) $A\cup B\cup C$
(3) $A\cap B\cap\overline{C}$
(4) $\overline{A}\cap B\cap\overline{C}$
(5) $\overline{A\cap B\cap C}$
(6) $(A\cup C)\cap\overline{B}$
U＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝を全体集合とする。Uの部分集合A、Bについて以下のようであるとき、次の集合を求めよ。【数Ⅰ】【集合と論証｜集合:ベン図を利用した問題】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ を全体集合とする。$U$ の部分集合 $A$、$B$ について、$A\cap B=\{2\}$、$\overline{A}\cap B=\{4,6,8\}$、$\overline{A}\cap\overline{B}=\{1,9\}$ であるとき、次の集合を求めよ。
(1) $A\cup B$
(2) $B$
(3) $A\cap\overline{B}$
この動画を見る
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ を全体集合とする。$U$ の部分集合 $A$、$B$ について、$A\cap B=\{2\}$、$\overline{A}\cap B=\{4,6,8\}$、$\overline{A}\cap\overline{B}=\{1,9\}$ であるとき、次の集合を求めよ。
(1) $A\cup B$
(2) $B$
(3) $A\cap\overline{B}$
A＝{1、3、3a-2} B＝{－5、a+2、a²-2a+1} A∩B＝｛1、４｝のとき定数aの値と和集合A∪Bを求めよ。【数Ⅰ】【集合と論証｜集合:ベン図を利用した問題】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$A=\{1,3,3a-2\}$、$B=\{-5,\ a+2,\ a^{2}-2a+1\}$、$A\cap B=\{1,4\}$ のとき、定数 $a$ の値と和集合 $A\cup B$ を求めよ。
この動画を見る
$A=\{1,3,3a-2\}$、$B=\{-5,\ a+2,\ a^{2}-2a+1\}$、$A\cap B=\{1,4\}$ のとき、定数 $a$ の値と和集合 $A\cup B$ を求めよ。
出た分野の授業します
福田の数学〜神戸大学2025文系第2問〜小数部分と命題の証明
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
実数$a$に対して、
$a$を超えない最大の整数を$k$とするとき、
$a-k$を$a$の小数部分という。
$n$を自然数とし、$a_n=\sqrt{n^2+1}$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)$a_n \lt n+1$が成り立つことを示せ。
(2)$b_n$を$a_n$の小数部分とする。
$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$b_n$を(2)で定めたものとする。
$m,n$を異なる$2$つの自然数とするとき、
$b_m \neq b_n$であることを示せ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
この動画を見る
$\boxed{2}$
実数$a$に対して、
$a$を超えない最大の整数を$k$とするとき、
$a-k$を$a$の小数部分という。
$n$を自然数とし、$a_n=\sqrt{n^2+1}$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)$a_n \lt n+1$が成り立つことを示せ。
(2)$b_n$を$a_n$の小数部分とする。
$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$b_n$を(2)で定めたものとする。
$m,n$を異なる$2$つの自然数とするとき、
$b_m \neq b_n$であることを示せ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
福田のおもしろ数学523〜命題の真偽の判定
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x+y$と$x+y^2$がともに有理数であるとき
$x$と$y$はともに有理数であると言えるか？
$x+y$と$x+y^2$と$x+y^3$がすべて
有理数であるとき
$x$と$y$はともに有理数であると言えるか？
この動画を見る
$x+y$と$x+y^2$がともに有理数であるとき
$x$と$y$はともに有理数であると言えるか？
$x+y$と$x+y^2$と$x+y^3$がすべて
有理数であるとき
$x$と$y$はともに有理数であると言えるか？
福田のおもしろ数学519修正版〜1からnまでの自然数の集合の連続数を含まない部分集合の個数
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
集合$\{1,2,\cdots, n\}$の部分集合で
空集合でなく、
連続する数を含まないものの
個数を求めよ。
この動画を見る
集合$\{1,2,\cdots, n\}$の部分集合で
空集合でなく、
連続する数を含まないものの
個数を求めよ。
福田のおもしろ数学519〜1からnまでの自然数の集合の連続数を含まない部分集合の個数
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
集合$\{1,2,\cdots, n\}$の部分集合で
空集合でなく、
連続する数を含まないものの
個数を求めよ。
この動画を見る
集合$\{1,2,\cdots, n\}$の部分集合で
空集合でなく、
連続する数を含まないものの
個数を求めよ。
福田の数学〜京都大学2025理系第4問〜平面が定点を通過する条件
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
座標空間の$4$点$O,A,B,C$は同一平面上にないとする。
$s,t,u$は$0$でない実数とする。
直線$OA$上の点$L$、
直線$OB$上の点$M$、直線$OC$上の点$N$を
$\overrightarrow{ OL }=s\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OM }=t\overrightarrow{ OB },\overrightarrow{ ON }=u\overrightarrow{ OC }$が
成り立つようにとる。
(1)$s,t,u$が$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$を満たす範囲で
あらゆる値をとるとき、
$3$点$L,M,N$の定める平面$LMN$は、
$s,t,u$の値に無関係な一定の点$P$を通ることを示せ。
さらに、そのような点$P$はただ一つに定まることを示せ。
$2025$年京都大学理系過去問題
この動画を見る
$\boxed{4}$
座標空間の$4$点$O,A,B,C$は同一平面上にないとする。
$s,t,u$は$0$でない実数とする。
直線$OA$上の点$L$、
直線$OB$上の点$M$、直線$OC$上の点$N$を
$\overrightarrow{ OL }=s\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OM }=t\overrightarrow{ OB },\overrightarrow{ ON }=u\overrightarrow{ OC }$が
成り立つようにとる。
(1)$s,t,u$が$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$を満たす範囲で
あらゆる値をとるとき、
$3$点$L,M,N$の定める平面$LMN$は、
$s,t,u$の値に無関係な一定の点$P$を通ることを示せ。
さらに、そのような点$P$はただ一つに定まることを示せ。
$2025$年京都大学理系過去問題
福田のおもしろ数学393〜半径1の円板上の点を3つに分類して距離1離れた2点が同じ部分集合に属さないようにできるか
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
半径1の円板(周も含む)上の点を3つの部分集合に分割し、
それぞれの部分集合において、
距離が1離れた2点を含まないようにすることは可能か？
この動画を見る
半径1の円板(周も含む)上の点を3つの部分集合に分割し、
それぞれの部分集合において、
距離が1離れた2点を含まないようにすることは可能か？
【数Ⅰ】【集合と論証】有理数、無理数の証明 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
問題1
次の条件を満たす有理数 $p, \, q$ の値を求めよ。
$(1) \, (\sqrt{2}-1)p+q\sqrt(2)=2+\sqrt{2}$
$(2) \, \frac{p}{\sqrt{2}-1}+\frac{q}{\sqrt{2}}=1$
問題2
$p, \, q$ が有理数、$X$ が無理数で、$p+qX=0$ であるならば、$p=q=0$ であることを証明せよ。
この動画を見る
問題1
次の条件を満たす有理数 $p, \, q$ の値を求めよ。
$(1) \, (\sqrt{2}-1)p+q\sqrt(2)=2+\sqrt{2}$
$(2) \, \frac{p}{\sqrt{2}-1}+\frac{q}{\sqrt{2}}=1$
問題2
$p, \, q$ が有理数、$X$ が無理数で、$p+qX=0$ であるならば、$p=q=0$ であることを証明せよ。
福田の数学〜早稲田大学2024社会科学部第3問〜集合と数列
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n$を$n \geqq 3$である自然数とする。相異なる$n$個の正の数を小さい順に並べた集合$S=${ $a_{ 1 },a_{ 2 }・・・,a_{ n } $}を考える。$a_{ 1 }=k$とするとき、次の問いに答えよ。
(1)$a_{ i }-a_{ 1 }$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ 2 }$を求めよ。
(2)(1)のとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
(3)$\frac{a_{ i }}{a_{ 1 }}$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
この動画を見る
$n$を$n \geqq 3$である自然数とする。相異なる$n$個の正の数を小さい順に並べた集合$S=${ $a_{ 1 },a_{ 2 }・・・,a_{ n } $}を考える。$a_{ 1 }=k$とするとき、次の問いに答えよ。
(1)$a_{ i }-a_{ 1 }$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ 2 }$を求めよ。
(2)(1)のとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
(3)$\frac{a_{ i }}{a_{ 1 }}$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
【数A】【場合の数】集合の個数 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
全体集合Uと、その部分集合$A$,$B$に対して${}_{ n }$U = 50,${}_{ n }$($A$$\cup$$B$) = 42,${}_{ n }$($A$$\cap$$B$) = 3, ${}_{ n }$($\overline{A}$$\cap$$B$) = 15であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。
(1) $\overline{A}$$\cap$$\overline{B}$ (2) $A$$\cap$$\overline{B}$ (3) $A$
この動画を見る
全体集合Uと、その部分集合$A$,$B$に対して${}_{ n }$U = 50,${}_{ n }$($A$$\cup$$B$) = 42,${}_{ n }$($A$$\cap$$B$) = 3, ${}_{ n }$($\overline{A}$$\cap$$B$) = 15であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。
(1) $\overline{A}$$\cap$$\overline{B}$ (2) $A$$\cap$$\overline{B}$ (3) $A$
【数A】【場合の数】集合の文章題 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
海外旅行者100人のうち、75人がカゼ薬を、80人が胃薬を携帯していた。次のような人は、最も多くて何人か。また少なくて何人か。
(1)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人
(2)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯していない人
この動画を見る
海外旅行者100人のうち、75人がカゼ薬を、80人が胃薬を携帯していた。次のような人は、最も多くて何人か。また少なくて何人か。
(1)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人
(2)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯していない人
【数A】【場合の数】3つの集合 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。
(1)2,3,7の少なくとも1つで割り切れる数
(2)2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数
この動画を見る
1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。
(1)2,3,7の少なくとも1つで割り切れる数
(2)2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数
【数Ⅰ】【集合と論証】背理法の使い方 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#数と式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
"$x,y,z$は実数とする。次の▢の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。
（１）$(x-y)(y-z)=0$は$x=y=z$であるための$\Box$
（２）$「x\gt 0 $かつ$y\gt 0」$は、$xy\gt 0$であるための$\Box$
（３）$x=y=0$は、$「xy=0$かつ$x+y=0」$であるための$\Box$
（４）$\angle A\lt 90$は$△ABC$が鋭角三角形であるための$\Box$
（５）$△ABC$の3辺$BC,CA,AB$の長さがそれぞれa$,b,c$とする。
$(a-b)(a^2+b^2=c^2)=0$は$△ABC$が直角二等辺三角形であるための$\Box$
$a,b$は実数とする。次の2つの条件$p,q$は同値であることを証明せよ。
$p:a\gt 1$かつ$b\gt 1$ $q:a+b\gt 2$かつ$(a-1)(b-1)\gt 0$
この動画を見る
"$x,y,z$は実数とする。次の▢の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。
（１）$(x-y)(y-z)=0$は$x=y=z$であるための$\Box$
（２）$「x\gt 0 $かつ$y\gt 0」$は、$xy\gt 0$であるための$\Box$
（３）$x=y=0$は、$「xy=0$かつ$x+y=0」$であるための$\Box$
（４）$\angle A\lt 90$は$△ABC$が鋭角三角形であるための$\Box$
（５）$△ABC$の3辺$BC,CA,AB$の長さがそれぞれa$,b,c$とする。
$(a-b)(a^2+b^2=c^2)=0$は$△ABC$が直角二等辺三角形であるための$\Box$
$a,b$は実数とする。次の2つの条件$p,q$は同値であることを証明せよ。
$p:a\gt 1$かつ$b\gt 1$ $q:a+b\gt 2$かつ$(a-1)(b-1)\gt 0$
【数Ⅰ】【集合と論証】対偶の使い方 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【1問目】
$m,n$は整数とする。次の命題を証明せよ。
（１）$n^2$が5の倍数ならば、$n$は5の倍数である。
（２）$mn$が3の倍数ならば、$m,n$の少なくとも一方は3の倍数である。
【2問目】
$\sqrt6$が無理数であることを用いて、$\sqrt3-\sqrt2$は無理数であることを証明せよ。
この動画を見る
【1問目】
$m,n$は整数とする。次の命題を証明せよ。
（１）$n^2$が5の倍数ならば、$n$は5の倍数である。
（２）$mn$が3の倍数ならば、$m,n$の少なくとも一方は3の倍数である。
【2問目】
$\sqrt6$が無理数であることを用いて、$\sqrt3-\sqrt2$は無理数であることを証明せよ。
【数Ⅰ】【集合と論証】真偽の調べ方 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a,b$は実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
（１）$ab=0$ならば$a^2+b^2=0$である。
（２）$a^2=4$ならば$|a+1|≧1$である。
（３）$ab$が有理数であるならば、$a,b$はともに有理数である。
（４）$a+b, ab$がともに有理数ならば、$a,b$はともに有理数である。
全体集合を$U$とし、条件$p,q$を満たす全体の集合を、それぞれ$P,Q$とする。
命題$\overline{p}⇒q$が真であるとき、$P,Q$について常に成り立つ事をすべて選べ。
①$P＝Q$
②$Q⊂P$
③$\overline{Q}⊂P$
④$P⊂\overline{Q}$
⑤$P∪\overline{Q}＝P$
⑥$P∪\overline{Q}＝\overline{Q}$
⑦$P∩Q＝\varnothing$
⑧$P∪Q＝U$
この動画を見る
$a,b$は実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
（１）$ab=0$ならば$a^2+b^2=0$である。
（２）$a^2=4$ならば$|a+1|≧1$である。
（３）$ab$が有理数であるならば、$a,b$はともに有理数である。
（４）$a+b, ab$がともに有理数ならば、$a,b$はともに有理数である。
全体集合を$U$とし、条件$p,q$を満たす全体の集合を、それぞれ$P,Q$とする。
命題$\overline{p}⇒q$が真であるとき、$P,Q$について常に成り立つ事をすべて選べ。
①$P＝Q$
②$Q⊂P$
③$\overline{Q}⊂P$
④$P⊂\overline{Q}$
⑤$P∪\overline{Q}＝P$
⑥$P∪\overline{Q}＝\overline{Q}$
⑦$P∩Q＝\varnothing$
⑧$P∪Q＝U$
【数Ⅰ】【集合と論証】集合:ベン図を利用した問題 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$U＝\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$を全体集合とする。$U$の部分集合$A,B$について
$A∩B＝\{2\}$ $\overline{A}∩B＝\{4,6,8\}$ $ \overline{A}∩\overline{B}＝\{1,9\}$
であるとき、次の∩を求めよ。
（１）$A∪B$
（２）$B$
（３）$A∩\overline{B}$
$U=\{x|1≦x≦10、xは整数\}$を全体集合とする。$U$の部分集合
$A=\{1,2,3,4,8\} B=\{3,4,5,6\} C=\{2,3,6,7\}$
について、次の集合を求めよ。
（１）$A∩B∩C$
（２）$A∪B∪C$
（３）$A∩B∩\overline{C}$
（４）$\overline{A}∩B∩\overline{C}$
（５）$\overline{(A∩B∩C)}$
（６）$(A∪C)∩\overline{B}$
$A=\{1,3,3a-2\}$ $B=\{-5、a+2、a^2-2a+1\}$ $A∩B=\{1,4\}$のとき
定数$a$の値と和集合$A∪B$を求めよ。
この動画を見る
$U＝\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$を全体集合とする。$U$の部分集合$A,B$について
$A∩B＝\{2\}$ $\overline{A}∩B＝\{4,6,8\}$ $ \overline{A}∩\overline{B}＝\{1,9\}$
であるとき、次の∩を求めよ。
（１）$A∪B$
（２）$B$
（３）$A∩\overline{B}$
$U=\{x|1≦x≦10、xは整数\}$を全体集合とする。$U$の部分集合
$A=\{1,2,3,4,8\} B=\{3,4,5,6\} C=\{2,3,6,7\}$
について、次の集合を求めよ。
（１）$A∩B∩C$
（２）$A∪B∪C$
（３）$A∩B∩\overline{C}$
（４）$\overline{A}∩B∩\overline{C}$
（５）$\overline{(A∩B∩C)}$
（６）$(A∪C)∩\overline{B}$
$A=\{1,3,3a-2\}$ $B=\{-5、a+2、a^2-2a+1\}$ $A∩B=\{1,4\}$のとき
定数$a$の値と和集合$A∪B$を求めよ。
福田のおもしろ数学309〜自然数から自然数への関数f(n)に関する関数方程式
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$$自然数を自然数へ写す関数f(n)が次を満たす。$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{f(a)}+\frac{1}{f(b)}=\frac{1}{f(c)}$$
$$このような関数f(n)をすべて求めて下さい。$$
この動画を見る
$$自然数を自然数へ写す関数f(n)が次を満たす。$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{f(a)}+\frac{1}{f(b)}=\frac{1}{f(c)}$$
$$このような関数f(n)をすべて求めて下さい。$$
意外と差がつく！互いに素の証明！できるようになっておきたい【一橋大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
nは正の整数とする。n^2と2n+1は互いに素であることを示せ。
この動画を見る
nは正の整数とする。n^2と2n+1は互いに素であることを示せ。
福田のおもしろ数学292〜実数と実数の間に必ず有理数が存在する証明
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
異なる2つの実数の間に有理数が存在することを証明して下さい。
この動画を見る
異なる2つの実数の間に有理数が存在することを証明して下さい。