集合と命題（集合・命題と条件・背理法）
集合と命題（集合・命題と条件・背理法）
ｐ、ｑは有理数、Xが無理数でｐ+qX=0であるならば p=q=0であることを証明せよ【数Ⅰ】【集合と論証｜有理数、無理数の証明】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$p,\ qは有理数,\ Xは無理数で\ p+qX=0\ であるならば\\$
$p=q=0\ であることを証明せよ。$
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$p,\ qは有理数,\ Xは無理数で\ p+qX=0\ であるならば\\$
$p=q=0\ であることを証明せよ。$
次の条件を満たす有理数ｐ、ｑの値を求めよ。（１）（√2-1）p＋q√2＝2+√2（２）p/（√2-1）+q/√2=1【数Ⅰ】【集合と論証｜有理数、無理数の証明 】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$次の条件を満たす有理数\ p,\ q\ の値を求めよ。\\$
$(1)\ (\sqrt{2}-1)p+q\sqrt{2}=2+\sqrt{2}\\$
$(2)\ \dfrac{p}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{q}{\sqrt{2}}=1$
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$次の条件を満たす有理数\ p,\ q\ の値を求めよ。\\$
$(1)\ (\sqrt{2}-1)p+q\sqrt{2}=2+\sqrt{2}\\$
$(2)\ \dfrac{p}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{q}{\sqrt{2}}=1$
a,bは実数とする。次の2つの条件ｐ、ｑは同値であることを証明せよ。p:a＞１かつb＞１ q:a+b＞２かつ(a-1)(b-1)＞０【数Ⅰ】【集合と論証｜背理法の使い方】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$a,\ bは実数とする。\ 次の2つの条件\ p,\ q\ は同値であることを証明せよ。\\$
$p:\ a>1\ かつ\ b>1 \qquad q:\ a+b>2\ かつ\ (a-1)(b-1)>0$
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$a,\ bは実数とする。\ 次の2つの条件\ p,\ q\ は同値であることを証明せよ。\\$
$p:\ a>1\ かつ\ b>1 \qquad q:\ a+b>2\ かつ\ (a-1)(b-1)>0$
次の▢の中に、「必要条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうちどれが適するか。【数Ⅰ】【集合と論証｜背理法の使い方】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$x,\ y,\ zは実数とする。\ 次の\square の中に,\\$
$「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」\\$
$「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち,\\$
$それぞれどれが適するか。\\$
$(1)\ (x-y)(y-z)=0\ は\ x=y=z\ であるための\square\\$
$(2)\ 「x>0\ かつ\ y>0」は,\ xy>0\ であるための\square\\$
$(3)\ x=y=0\ は,\ 「xy=0\ かつ\ x+y=0」であるための\square\\$
$(4)\ \angle A<90^{\circ}\ は\ \triangle ABC\ が鋭角三角形であるための\square\\$
$(5)\ \triangle ABC\ の3辺\ BC,\ CA,\ AB\ の長さがそれぞれ\ a,\ b,\ c\ とする。\\$
$\quad (a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0\ は\ \triangle ABC\ が直角二等辺三角形であるための\square$
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$x,\ y,\ zは実数とする。\ 次の\square の中に,\\$
$「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」\\$
$「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち,\\$
$それぞれどれが適するか。\\$
$(1)\ (x-y)(y-z)=0\ は\ x=y=z\ であるための\square\\$
$(2)\ 「x>0\ かつ\ y>0」は,\ xy>0\ であるための\square\\$
$(3)\ x=y=0\ は,\ 「xy=0\ かつ\ x+y=0」であるための\square\\$
$(4)\ \angle A<90^{\circ}\ は\ \triangle ABC\ が鋭角三角形であるための\square\\$
$(5)\ \triangle ABC\ の3辺\ BC,\ CA,\ AB\ の長さがそれぞれ\ a,\ b,\ c\ とする。\\$
$\quad (a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0\ は\ \triangle ABC\ が直角二等辺三角形であるための\square$
√6が無理数であることを用いて、√3－√2は無理数であることを証明せよ。【数Ⅰ】【集合と論証｜対偶の使い方】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{6}が無理数であることを用いて,\ \sqrt{3}-\sqrt{2}は無理数であることを証明せよ。$
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$\sqrt{6}が無理数であることを用いて,\ \sqrt{3}-\sqrt{2}は無理数であることを証明せよ。$
ｍ、nは整数とする。次の命題を証明せよ。（１）n²が5の倍数ならば、nは５の倍数である。（２）mnが３の倍数ならば、m,nの少なくとも一方は３の倍数である。ほか【数Ⅰ】【集合と論証｜対偶の使い方】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$m,\ nは整数とする。\ 次の命題を証明せよ。\\$
$(1)\ n^{2}が5の倍数ならば,\ nは5の倍数である。\\$
$(2)\ mnが3の倍数ならば,\ m,\ nの少なくとも一方は3の倍数である。\\$
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$m,\ nは整数とする。\ 次の命題を証明せよ。\\$
$(1)\ n^{2}が5の倍数ならば,\ nは5の倍数である。\\$
$(2)\ mnが3の倍数ならば,\ m,\ nの少なくとも一方は3の倍数である。\\$
全体集合をUとし、条件p、qを満たす全体の集合を、それぞれＰ．Ｑとする。命題p（補集合）⇒qが真であるとき、P、Qについて常に成り立つ事をすべて選べ。①P＝Qほか【数Ⅰ】【集合と論証｜真偽の調べ方】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$全体集合をUとし,\ 条件p,\ qを満たす全体の集合を,\ それぞれP,\ Qとする。\\$
$命題\ \overline{p}\Rightarrow q\ が真であるとき,\ P,\ Qについて常に成り立つことをすべて選べ。\\$
$①\ P=Q \qquad ②\ Q\subset P \qquad ③\ \overline{Q}\subset P \qquad ④\ P\subset\overline{Q}\\$
$⑤\ P\cup\overline{Q}=P \qquad ⑥\ P\cup\overline{Q}=\overline{Q} \qquad ⑦\ P\cap Q=\emptyset \qquad ⑧\ P\cup Q=U$
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$全体集合をUとし,\ 条件p,\ qを満たす全体の集合を,\ それぞれP,\ Qとする。\\$
$命題\ \overline{p}\Rightarrow q\ が真であるとき,\ P,\ Qについて常に成り立つことをすべて選べ。\\$
$①\ P=Q \qquad ②\ Q\subset P \qquad ③\ \overline{Q}\subset P \qquad ④\ P\subset\overline{Q}\\$
$⑤\ P\cup\overline{Q}=P \qquad ⑥\ P\cup\overline{Q}=\overline{Q} \qquad ⑦\ P\cap Q=\emptyset \qquad ⑧\ P\cup Q=U$
a,bは実数とする。次の命題の真偽を求めよ。（１）ab=0ならばa²+b²=0である。（２）a²=4ならば|a+1|≧1である。ほか【数Ⅰ】【集合と論証｜真偽の調べ方】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$a,\ bは実数とする。\ 次の命題の真偽を求めよ。\\$
$(1)\ ab=0\ ならば\ a^{2}+b^{2}=0\ である。\\$
$(2)\ a^{2}=4\ ならば\ |a+1|\geqq1\ である。\\$
$(3)\ abが有理数であるならば,\ a,\ bはともに有理数である。\\$
$(4)\ a+b,\ abがともに有理数ならば,\ a,\ bはともに有理数である。$
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$a,\ bは実数とする。\ 次の命題の真偽を求めよ。\\$
$(1)\ ab=0\ ならば\ a^{2}+b^{2}=0\ である。\\$
$(2)\ a^{2}=4\ ならば\ |a+1|\geqq1\ である。\\$
$(3)\ abが有理数であるならば,\ a,\ bはともに有理数である。\\$
$(4)\ a+b,\ abがともに有理数ならば,\ a,\ bはともに有理数である。$
U＝{x|1≦x≦10、xは整数} Uの部分集合A＝｛1,2,3,4,8｝B＝｛3,4,5,6｝C｛2,3,6,7｝について、次の集合を求めよ。【数Ⅰ】【集合と論証｜集合:ベン図を利用した問題】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$U=\{x \mid 1\leqq x\leqq10,\ xは整数\}\ を全体集合とする。\\$
$Uの部分集合\ A=\{1,2,3,4,8\},\ B=\{3,4,5,6\},\ C=\{2,3,6,7\}\ について,\ 次の集合を求めよ。\\$
$(1)\ A\cap B\cap C \qquad (2)\ A\cup B\cup C\\$
$(3)\ A\cap B\cap\overline{C} \qquad (4)\ \overline{A}\cap B\cap\overline{C}\\$
$(5)\ \overline{A\cap B\cap C} \qquad (6)\ (A\cup C)\cap\overline{B}$
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$U=\{x \mid 1\leqq x\leqq10,\ xは整数\}\ を全体集合とする。\\$
$Uの部分集合\ A=\{1,2,3,4,8\},\ B=\{3,4,5,6\},\ C=\{2,3,6,7\}\ について,\ 次の集合を求めよ。\\$
$(1)\ A\cap B\cap C \qquad (2)\ A\cup B\cup C\\$
$(3)\ A\cap B\cap\overline{C} \qquad (4)\ \overline{A}\cap B\cap\overline{C}\\$
$(5)\ \overline{A\cap B\cap C} \qquad (6)\ (A\cup C)\cap\overline{B}$
U＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝を全体集合とする。Uの部分集合A、Bについて以下のようであるとき、次の集合を求めよ。【数Ⅰ】【集合と論証｜集合:ベン図を利用した問題】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\ を全体集合とする。\\$
$Uの部分集合A,\ Bについて\\$
$A\cap B=\{2\}, \quad \overline{A}\cap B=\{4,6,8\}, \quad \overline{A}\cap\overline{B}=\{1,9\}\\$
$であるとき,\ 次の集合を求めよ。\\$
$(1)\ A\cup B \qquad (2)\ B \qquad (3)\ A\cap\overline{B}$
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$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\ を全体集合とする。\\$
$Uの部分集合A,\ Bについて\\$
$A\cap B=\{2\}, \quad \overline{A}\cap B=\{4,6,8\}, \quad \overline{A}\cap\overline{B}=\{1,9\}\\$
$であるとき,\ 次の集合を求めよ。\\$
$(1)\ A\cup B \qquad (2)\ B \qquad (3)\ A\cap\overline{B}$
A＝{1、3、3a-2} B＝{－5、a+2、a²-2a+1} A∩B＝｛1、４｝のとき定数aの値と和集合A∪Bを求めよ。【数Ⅰ】【集合と論証｜集合:ベン図を利用した問題】
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$A=\{1,\ 3,\ 3a-2\}, \quad B=\{-5,\ a+2,\ a^{2}-2a+1\}$
$A\cap B=\{1,\ 4\}\ のとき,\ 定数aの値と和集合\ A\cup B\ を求めよ。$
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$A=\{1,\ 3,\ 3a-2\}, \quad B=\{-5,\ a+2,\ a^{2}-2a+1\}$
$A\cap B=\{1,\ 4\}\ のとき,\ 定数aの値と和集合\ A\cup B\ を求めよ。$
出た分野の授業します
福田の数学〜神戸大学2025文系第2問〜小数部分と命題の証明
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#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
実数$a$に対して、
$a$を超えない最大の整数を$k$とするとき、
$a-k$を$a$の小数部分という。
$n$を自然数とし、$a_n=\sqrt{n^2+1}$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)$a_n \lt n+1$が成り立つことを示せ。
(2)$b_n$を$a_n$の小数部分とする。
$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$b_n$を(2)で定めたものとする。
$m,n$を異なる$2$つの自然数とするとき、
$b_m \neq b_n$であることを示せ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
実数$a$に対して、
$a$を超えない最大の整数を$k$とするとき、
$a-k$を$a$の小数部分という。
$n$を自然数とし、$a_n=\sqrt{n^2+1}$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)$a_n \lt n+1$が成り立つことを示せ。
(2)$b_n$を$a_n$の小数部分とする。
$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$b_n$を(2)で定めたものとする。
$m,n$を異なる$2$つの自然数とするとき、
$b_m \neq b_n$であることを示せ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
福田のおもしろ数学523〜命題の真偽の判定
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x+y$と$x+y^2$がともに有理数であるとき
$x$と$y$はともに有理数であると言えるか？
$x+y$と$x+y^2$と$x+y^3$がすべて
有理数であるとき
$x$と$y$はともに有理数であると言えるか？
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$x+y$と$x+y^2$がともに有理数であるとき
$x$と$y$はともに有理数であると言えるか？
$x+y$と$x+y^2$と$x+y^3$がすべて
有理数であるとき
$x$と$y$はともに有理数であると言えるか？
福田のおもしろ数学519修正版〜1からnまでの自然数の集合の連続数を含まない部分集合の個数
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
集合$\{1,2,\cdots, n\}$の部分集合で
空集合でなく、
連続する数を含まないものの
個数を求めよ。
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集合$\{1,2,\cdots, n\}$の部分集合で
空集合でなく、
連続する数を含まないものの
個数を求めよ。
福田のおもしろ数学519〜1からnまでの自然数の集合の連続数を含まない部分集合の個数
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
集合$\{1,2,\cdots, n\}$の部分集合で
空集合でなく、
連続する数を含まないものの
個数を求めよ。
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集合$\{1,2,\cdots, n\}$の部分集合で
空集合でなく、
連続する数を含まないものの
個数を求めよ。
福田の数学〜京都大学2025理系第4問〜平面が定点を通過する条件
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#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
座標空間の$4$点$O,A,B,C$は同一平面上にないとする。
$s,t,u$は$0$でない実数とする。
直線$OA$上の点$L$、
直線$OB$上の点$M$、直線$OC$上の点$N$を
$\overrightarrow{ OL }=s\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OM }=t\overrightarrow{ OB },\overrightarrow{ ON }=u\overrightarrow{ OC }$が
成り立つようにとる。
(1)$s,t,u$が$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$を満たす範囲で
あらゆる値をとるとき、
$3$点$L,M,N$の定める平面$LMN$は、
$s,t,u$の値に無関係な一定の点$P$を通ることを示せ。
さらに、そのような点$P$はただ一つに定まることを示せ。
$2025$年京都大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
座標空間の$4$点$O,A,B,C$は同一平面上にないとする。
$s,t,u$は$0$でない実数とする。
直線$OA$上の点$L$、
直線$OB$上の点$M$、直線$OC$上の点$N$を
$\overrightarrow{ OL }=s\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OM }=t\overrightarrow{ OB },\overrightarrow{ ON }=u\overrightarrow{ OC }$が
成り立つようにとる。
(1)$s,t,u$が$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$を満たす範囲で
あらゆる値をとるとき、
$3$点$L,M,N$の定める平面$LMN$は、
$s,t,u$の値に無関係な一定の点$P$を通ることを示せ。
さらに、そのような点$P$はただ一つに定まることを示せ。
$2025$年京都大学理系過去問題
福田のおもしろ数学393〜半径1の円板上の点を3つに分類して距離1離れた2点が同じ部分集合に属さないようにできるか
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#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
半径1の円板(周も含む)上の点を3つの部分集合に分割し、
それぞれの部分集合において、
距離が1離れた2点を含まないようにすることは可能か？
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半径1の円板(周も含む)上の点を3つの部分集合に分割し、
それぞれの部分集合において、
距離が1離れた2点を含まないようにすることは可能か？
【数Ⅰ】【集合と論証】有理数、無理数の証明 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
問題1
次の条件を満たす有理数 $p, \, q$ の値を求めよ。
$(1) \, (\sqrt{2}-1)p+q\sqrt(2)=2+\sqrt{2}$
$(2) \, \frac{p}{\sqrt{2}-1}+\frac{q}{\sqrt{2}}=1$
問題2
$p, \, q$ が有理数、$X$ が無理数で、$p+qX=0$ であるならば、$p=q=0$ であることを証明せよ。
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問題1
次の条件を満たす有理数 $p, \, q$ の値を求めよ。
$(1) \, (\sqrt{2}-1)p+q\sqrt(2)=2+\sqrt{2}$
$(2) \, \frac{p}{\sqrt{2}-1}+\frac{q}{\sqrt{2}}=1$
問題2
$p, \, q$ が有理数、$X$ が無理数で、$p+qX=0$ であるならば、$p=q=0$ であることを証明せよ。
福田の数学〜早稲田大学2024社会科学部第3問〜集合と数列
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n$を$n \geqq 3$である自然数とする。相異なる$n$個の正の数を小さい順に並べた集合$S=${ $a_{ 1 },a_{ 2 }・・・,a_{ n } $}を考える。$a_{ 1 }=k$とするとき、次の問いに答えよ。
(1)$a_{ i }-a_{ 1 }$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ 2 }$を求めよ。
(2)(1)のとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
(3)$\frac{a_{ i }}{a_{ 1 }}$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
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$n$を$n \geqq 3$である自然数とする。相異なる$n$個の正の数を小さい順に並べた集合$S=${ $a_{ 1 },a_{ 2 }・・・,a_{ n } $}を考える。$a_{ 1 }=k$とするとき、次の問いに答えよ。
(1)$a_{ i }-a_{ 1 }$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ 2 }$を求めよ。
(2)(1)のとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
(3)$\frac{a_{ i }}{a_{ 1 }}$$(i=2,3,・・・,n)$がすべての$S$の要素となるとき、$a_{ n }$を$n$の式で表せ。
【数A】【場合の数】集合の個数 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
全体集合Uと、その部分集合$A$,$B$に対して${}_{ n }$U = 50,${}_{ n }$($A$$\cup$$B$) = 42,${}_{ n }$($A$$\cap$$B$) = 3, ${}_{ n }$($\overline{A}$$\cap$$B$) = 15であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。
(1) $\overline{A}$$\cap$$\overline{B}$ (2) $A$$\cap$$\overline{B}$ (3) $A$
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全体集合Uと、その部分集合$A$,$B$に対して${}_{ n }$U = 50,${}_{ n }$($A$$\cup$$B$) = 42,${}_{ n }$($A$$\cap$$B$) = 3, ${}_{ n }$($\overline{A}$$\cap$$B$) = 15であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。
(1) $\overline{A}$$\cap$$\overline{B}$ (2) $A$$\cap$$\overline{B}$ (3) $A$
【数A】【場合の数】集合の文章題 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
海外旅行者100人のうち、75人がカゼ薬を、80人が胃薬を携帯していた。次のような人は、最も多くて何人か。また少なくて何人か。
(1)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人
(2)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯していない人
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海外旅行者100人のうち、75人がカゼ薬を、80人が胃薬を携帯していた。次のような人は、最も多くて何人か。また少なくて何人か。
(1)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人
(2)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯していない人
【数A】【場合の数】3つの集合 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#場合の数と確率#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。
(1)2,3,7の少なくとも1つで割り切れる数
(2)2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数
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1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。
(1)2,3,7の少なくとも1つで割り切れる数
(2)2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数
【数Ⅰ】【集合と論証】背理法の使い方 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#数と式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
"$x,y,z$は実数とする。次の▢の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。
（１）$(x-y)(y-z)=0$は$x=y=z$であるための$\Box$
（２）$「x\gt 0 $かつ$y\gt 0」$は、$xy\gt 0$であるための$\Box$
（３）$x=y=0$は、$「xy=0$かつ$x+y=0」$であるための$\Box$
（４）$\angle A\lt 90$は$△ABC$が鋭角三角形であるための$\Box$
（５）$△ABC$の3辺$BC,CA,AB$の長さがそれぞれa$,b,c$とする。
$(a-b)(a^2+b^2=c^2)=0$は$△ABC$が直角二等辺三角形であるための$\Box$
$a,b$は実数とする。次の2つの条件$p,q$は同値であることを証明せよ。
$p:a\gt 1$かつ$b\gt 1$ $q:a+b\gt 2$かつ$(a-1)(b-1)\gt 0$
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"$x,y,z$は実数とする。次の▢の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。
（１）$(x-y)(y-z)=0$は$x=y=z$であるための$\Box$
（２）$「x\gt 0 $かつ$y\gt 0」$は、$xy\gt 0$であるための$\Box$
（３）$x=y=0$は、$「xy=0$かつ$x+y=0」$であるための$\Box$
（４）$\angle A\lt 90$は$△ABC$が鋭角三角形であるための$\Box$
（５）$△ABC$の3辺$BC,CA,AB$の長さがそれぞれa$,b,c$とする。
$(a-b)(a^2+b^2=c^2)=0$は$△ABC$が直角二等辺三角形であるための$\Box$
$a,b$は実数とする。次の2つの条件$p,q$は同値であることを証明せよ。
$p:a\gt 1$かつ$b\gt 1$ $q:a+b\gt 2$かつ$(a-1)(b-1)\gt 0$
【数Ⅰ】【集合と論証】対偶の使い方 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【1問目】
$m,n$は整数とする。次の命題を証明せよ。
（１）$n^2$が5の倍数ならば、$n$は5の倍数である。
（２）$mn$が3の倍数ならば、$m,n$の少なくとも一方は3の倍数である。
【2問目】
$\sqrt6$が無理数であることを用いて、$\sqrt3-\sqrt2$は無理数であることを証明せよ。
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【1問目】
$m,n$は整数とする。次の命題を証明せよ。
（１）$n^2$が5の倍数ならば、$n$は5の倍数である。
（２）$mn$が3の倍数ならば、$m,n$の少なくとも一方は3の倍数である。
【2問目】
$\sqrt6$が無理数であることを用いて、$\sqrt3-\sqrt2$は無理数であることを証明せよ。
【数Ⅰ】【集合と論証】真偽の調べ方 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a,b$は実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
（１）$ab=0$ならば$a^2+b^2=0$である。
（２）$a^2=4$ならば$|a+1|≧1$である。
（３）$ab$が有理数であるならば、$a,b$はともに有理数である。
（４）$a+b, ab$がともに有理数ならば、$a,b$はともに有理数である。
全体集合を$U$とし、条件$p,q$を満たす全体の集合を、それぞれ$P,Q$とする。
命題$\overline{p}⇒q$が真であるとき、$P,Q$について常に成り立つ事をすべて選べ。
①$P＝Q$
②$Q⊂P$
③$\overline{Q}⊂P$
④$P⊂\overline{Q}$
⑤$P∪\overline{Q}＝P$
⑥$P∪\overline{Q}＝\overline{Q}$
⑦$P∩Q＝\varnothing$
⑧$P∪Q＝U$
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$a,b$は実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
（１）$ab=0$ならば$a^2+b^2=0$である。
（２）$a^2=4$ならば$|a+1|≧1$である。
（３）$ab$が有理数であるならば、$a,b$はともに有理数である。
（４）$a+b, ab$がともに有理数ならば、$a,b$はともに有理数である。
全体集合を$U$とし、条件$p,q$を満たす全体の集合を、それぞれ$P,Q$とする。
命題$\overline{p}⇒q$が真であるとき、$P,Q$について常に成り立つ事をすべて選べ。
①$P＝Q$
②$Q⊂P$
③$\overline{Q}⊂P$
④$P⊂\overline{Q}$
⑤$P∪\overline{Q}＝P$
⑥$P∪\overline{Q}＝\overline{Q}$
⑦$P∩Q＝\varnothing$
⑧$P∪Q＝U$
【数Ⅰ】【集合と論証】集合:ベン図を利用した問題 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$U＝\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$を全体集合とする。$U$の部分集合$A,B$について
$A∩B＝\{2\}$ $\overline{A}∩B＝\{4,6,8\}$ $ \overline{A}∩\overline{B}＝\{1,9\}$
であるとき、次の∩を求めよ。
（１）$A∪B$
（２）$B$
（３）$A∩\overline{B}$
$U=\{x|1≦x≦10、xは整数\}$を全体集合とする。$U$の部分集合
$A=\{1,2,3,4,8\} B=\{3,4,5,6\} C=\{2,3,6,7\}$
について、次の集合を求めよ。
（１）$A∩B∩C$
（２）$A∪B∪C$
（３）$A∩B∩\overline{C}$
（４）$\overline{A}∩B∩\overline{C}$
（５）$\overline{(A∩B∩C)}$
（６）$(A∪C)∩\overline{B}$
$A=\{1,3,3a-2\}$ $B=\{-5、a+2、a^2-2a+1\}$ $A∩B=\{1,4\}$のとき
定数$a$の値と和集合$A∪B$を求めよ。
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$U＝\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$を全体集合とする。$U$の部分集合$A,B$について
$A∩B＝\{2\}$ $\overline{A}∩B＝\{4,6,8\}$ $ \overline{A}∩\overline{B}＝\{1,9\}$
であるとき、次の∩を求めよ。
（１）$A∪B$
（２）$B$
（３）$A∩\overline{B}$
$U=\{x|1≦x≦10、xは整数\}$を全体集合とする。$U$の部分集合
$A=\{1,2,3,4,8\} B=\{3,4,5,6\} C=\{2,3,6,7\}$
について、次の集合を求めよ。
（１）$A∩B∩C$
（２）$A∪B∪C$
（３）$A∩B∩\overline{C}$
（４）$\overline{A}∩B∩\overline{C}$
（５）$\overline{(A∩B∩C)}$
（６）$(A∪C)∩\overline{B}$
$A=\{1,3,3a-2\}$ $B=\{-5、a+2、a^2-2a+1\}$ $A∩B=\{1,4\}$のとき
定数$a$の値と和集合$A∪B$を求めよ。
福田のおもしろ数学309〜自然数から自然数への関数f(n)に関する関数方程式
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$$自然数を自然数へ写す関数f(n)が次を満たす。$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{f(a)}+\frac{1}{f(b)}=\frac{1}{f(c)}$$
$$このような関数f(n)をすべて求めて下さい。$$
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$$自然数を自然数へ写す関数f(n)が次を満たす。$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{f(a)}+\frac{1}{f(b)}=\frac{1}{f(c)}$$
$$このような関数f(n)をすべて求めて下さい。$$
意外と差がつく！互いに素の証明！できるようになっておきたい【一橋大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
nは正の整数とする。n^2と2n+1は互いに素であることを示せ。
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nは正の整数とする。n^2と2n+1は互いに素であることを示せ。
福田のおもしろ数学292〜実数と実数の間に必ず有理数が存在する証明
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
異なる2つの実数の間に有理数が存在することを証明して下さい。
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異なる2つの実数の間に有理数が存在することを証明して下さい。