集合と命題（集合・命題と条件・背理法）
集合と命題（集合・命題と条件・背理法）
無理数の無理数乗が有理数
数と式 4S数学問題集数Ⅰ 119,120 証明の応用【いつものシミズ君がていねいに解説】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#数と式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす有理数ｐ、ｑの値を求めよ。
（１）$（\sqrt{2}-1）p＋q\sqrt{2}＝2+\sqrt{2}$
（２）$\dfrac{p}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{q}{\sqrt{2}}=1$
ｐ、ｑは有理数、Xが無理数でｐ+qX=0であるならば
p=q=0であることを証明せよ
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次の条件を満たす有理数ｐ、ｑの値を求めよ。
（１）$（\sqrt{2}-1）p＋q\sqrt{2}＝2+\sqrt{2}$
（２）$\dfrac{p}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{q}{\sqrt{2}}=1$
ｐ、ｑは有理数、Xが無理数でｐ+qX=0であるならば
p=q=0であることを証明せよ
数と式 4S数学問題集数Ⅰ 117,118 対偶の使うタイミング【いつものシミズ君がていねいに解説】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#数と式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【1問目】
ｍ、nは整数とする。次の命題を証明せよ。
（１）n²が5の倍数ならば、nは５の倍数である。
（２）mnが３の倍数ならば、m,nの少なくとも一方は３の倍数である。
【2問目】
√6が無理数であることを用いて、√3－√2は無理数であることを証明せよ。
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【1問目】
ｍ、nは整数とする。次の命題を証明せよ。
（１）n²が5の倍数ならば、nは５の倍数である。
（２）mnが３の倍数ならば、m,nの少なくとも一方は３の倍数である。
【2問目】
√6が無理数であることを用いて、√3－√2は無理数であることを証明せよ。
数と式 4S数学問題集数Ⅰ 110,111 背理法の使うタイミング【いつものシミズ君がていねいに解説】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#数と式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
ｘ、ｙ、zは実数とする。次の▢の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。
【110】
（１） （ｘ－ｙ）（ｙ－ｚ）＝０はｘ＝ｙ＝ｚであるための▢
（２） 「ｘ＞０ かつ ｙ＞０」は、ｘｙ＞0であるための▢
（３） ｘ＝ｙ＝０は、「ｘｙ＝０かつｘ＋ｙ＝０」であるための▢
（４） ∠Ａ＜90は△ＡＢＣが鋭角三角形であるための▢
（５） △ＡＢＣの3辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの長さがそれぞれa,b,cとする。
（a-b）(a²+b²＝ｃ²）＝０は△ＡＢＣが直角二等辺三角形であるための▢
【111】
a,bは実数とする。次の2つの条件ｐ、ｑは同値であることを証明せよ。
p:a＞１かつb＞１ q:a+b＞２かつ(a-1)(b-1)＞０
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ｘ、ｙ、zは実数とする。次の▢の中に、「必要十分条件であるが十分条件ではない」「十分条件であるが必要条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。
【110】
（１） （ｘ－ｙ）（ｙ－ｚ）＝０はｘ＝ｙ＝ｚであるための▢
（２） 「ｘ＞０ かつ ｙ＞０」は、ｘｙ＞0であるための▢
（３） ｘ＝ｙ＝０は、「ｘｙ＝０かつｘ＋ｙ＝０」であるための▢
（４） ∠Ａ＜90は△ＡＢＣが鋭角三角形であるための▢
（５） △ＡＢＣの3辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの長さがそれぞれa,b,cとする。
（a-b）(a²+b²＝ｃ²）＝０は△ＡＢＣが直角二等辺三角形であるための▢
【111】
a,bは実数とする。次の2つの条件ｐ、ｑは同値であることを証明せよ。
p:a＞１かつb＞１ q:a+b＞２かつ(a-1)(b-1)＞０
【いつものシミズ君がていねいに解説】数と式 4S数学問題集数Ⅰ 108,109 真偽の調べ方
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#数と式#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
動画について不明点や質問などあればコメント欄にお気軽にお書きください！
質問解決D.B.（データベース） - 算数・数学・英語・理科等の問題別・単元別の解説動画のまとめサイトです。
https://kaiketsu-db.net/
■問題文
a,bは実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
（１）ab=0ならばa²+b²=0である。
（２）a²=4ならば|a+1|≧1である。
（３）abが有理数であるならば、a、bはともに有理数である。
（４）a+b、abがともに有理数ならば、a、bはともに有理数である。
全体集合をUとし、条件p、qを満たす全体の集合を、それぞれＰ．Ｑとする。
命題p（補集合）⇒qが真であるとき、P、Qについて常に成り立つ事をすべて選べ。
①P＝Q
②Q⊂P
③Q（補集合）⊂P
④P⊂Q（補集合）
⑤P∪Q（補集合）＝P
⑥P∪Q（補集合）＝Q（補集合）
⑦P∩Q＝∅
⑧P∪Q＝U
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■問題文
a,bは実数とする。次の命題の真偽を求めよ。
（１）ab=0ならばa²+b²=0である。
（２）a²=4ならば|a+1|≧1である。
（３）abが有理数であるならば、a、bはともに有理数である。
（４）a+b、abがともに有理数ならば、a、bはともに有理数である。
全体集合をUとし、条件p、qを満たす全体の集合を、それぞれＰ．Ｑとする。
命題p（補集合）⇒qが真であるとき、P、Qについて常に成り立つ事をすべて選べ。
①P＝Q
②Q⊂P
③Q（補集合）⊂P
④P⊂Q（補集合）
⑤P∪Q（補集合）＝P
⑥P∪Q（補集合）＝Q（補集合）
⑦P∩Q＝∅
⑧P∪Q＝U
【いつものシミズ君がていねいに解説】数と式 4S数学問題集数Ⅰ 98,99,100 集合の考え方
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#数と式#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
U＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝を全体集合とする。Uの部分集合A、Bについて
A∩B＝｛2｝ A（補集合）∩B＝｛4,6,8｝ A（補集合）∩B（補集合）＝｛1.9｝
であるとき、次の∩を求めよ。
（１）A∪B
（２）B
（３）A∩B（補集合）
U＝{x|1≦x≦10、xは整数}を全体集合とする。Uの部分集合
A＝｛1,2,3,4,8｝B＝｛3,4,5,6｝C｛2,3,6,7｝
について、次の集合を求めよ。
（１）A∩B∩C
（２）A∪B∪C
（３）A∩B∩C（補集合）
（４）A（補集合）∩B∩C（補集合）
（５）（A∩B∩C）（補集合）
（６）（A∪C）∩B（補集合）
A＝{1、3、3a-2} B＝{－5、a+2、a²-2a+1} A∩B＝｛1、４｝のとき
定数aの値と和集合A∪Bを求めよ。
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U＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝を全体集合とする。Uの部分集合A、Bについて
A∩B＝｛2｝ A（補集合）∩B＝｛4,6,8｝ A（補集合）∩B（補集合）＝｛1.9｝
であるとき、次の∩を求めよ。
（１）A∪B
（２）B
（３）A∩B（補集合）
U＝{x|1≦x≦10、xは整数}を全体集合とする。Uの部分集合
A＝｛1,2,3,4,8｝B＝｛3,4,5,6｝C｛2,3,6,7｝
について、次の集合を求めよ。
（１）A∩B∩C
（２）A∪B∪C
（３）A∩B∩C（補集合）
（４）A（補集合）∩B∩C（補集合）
（５）（A∩B∩C）（補集合）
（６）（A∪C）∩B（補集合）
A＝{1、3、3a-2} B＝{－5、a+2、a²-2a+1} A∩B＝｛1、４｝のとき
定数aの値と和集合A∪Bを求めよ。
【さこすけ’s サイエンスがていねいに解説】場合の数 4S数学問題集数A 9,10,11 集合の基本～ベン図を描こう～
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#集合と命題#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
U＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝を全体集合とする。Uの部分集合A,Bについて、
A∩B＝｛2｝,(Aの補集合)∩B＝｛2,4,6,8｝,(Aの補集合)∩(Bの補集合)＝｛1,9｝であるとき、次の集合を求めよ。
(1)A∪B (2)B (3)A∩(Bの補集合)
U＝｛x|1≦x≦10,xは整数｝を全体集合とする。Uの部分集合
A＝｛1,2,3,4,8｝,B＝｛3,4,5,6｝,C＝｛2,3,6,7｝について、次の集合を求めよ。
(1)A∩B∩C (2)A∪B∪C (3)A∩B∩(Cの補集合) (4)(Aの補集合)∩B∩(Cの補集合) (5)(A∩B∩Cの補集合) (6)(A∪C)∩(Bの補集合)
A＝｛1,3,3a-2｝,B＝｛-5,a+2,a²-2a+1｝,A∩B＝｛1,4｝のとき、
定数aの値と和集合A∪Bを求めよ
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U＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝を全体集合とする。Uの部分集合A,Bについて、
A∩B＝｛2｝,(Aの補集合)∩B＝｛2,4,6,8｝,(Aの補集合)∩(Bの補集合)＝｛1,9｝であるとき、次の集合を求めよ。
(1)A∪B (2)B (3)A∩(Bの補集合)
U＝｛x|1≦x≦10,xは整数｝を全体集合とする。Uの部分集合
A＝｛1,2,3,4,8｝,B＝｛3,4,5,6｝,C＝｛2,3,6,7｝について、次の集合を求めよ。
(1)A∩B∩C (2)A∪B∪C (3)A∩B∩(Cの補集合) (4)(Aの補集合)∩B∩(Cの補集合) (5)(A∩B∩Cの補集合) (6)(A∪C)∩(Bの補集合)
A＝｛1,3,3a-2｝,B＝｛-5,a+2,a²-2a+1｝,A∩B＝｛1,4｝のとき、
定数aの値と和集合A∪Bを求めよ
【苦手な人6分時間をください!!】必要十分条件を解説！〔現役塾講師解説、数学〕
福田の数学〜上智大学2022年理工学部第１問(1)〜集合と論理
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{1}}\ (1)x,yを実数とする。次の条件を考える。\hspace{130pt}\\
p:xyが無理数である\\
q:x,yがともに無理数である\\
r:x,yの少なくとも一方が無理数である\\
(\textrm{i})以下から真の命題をすべて選べ。\\
(\textrm{a})p \Rightarrow q\ \ \ (\textrm{b})p \Rightarrow r\ \ \ (\textrm{c})q \Rightarrow p\ \ \ (\textrm{d})q \Rightarrow r\ \ \ (\textrm{e})r \Rightarrow p\ \ \ (\textrm{f})r \Rightarrow q\ \ \ \\
(\textrm{ii})x,yが命題「p \Rightarrow q」の判例であるための必要十分条件を、すべて選べ。\\
(\textrm{a})「xyが無理数」かつ「x,yが共に有理数」である\\
(\textrm{b})「xyが有理数」かつ「x,yが共に有理数」である\\
(\textrm{c})「xyが有理数」かつ「xが有理数、または、yが有理数」である\\
(\textrm{d})「xyが無理数」かつ「xが有理数、または、yが有理数」である\\
(\textrm{e})「xyが無理数、かつxが有理数」または「xyが無理数、かつ、yが有\\
理数」である\\
(\textrm{f})「xyが無理数、かつxが有理数」または「xyが有理数、かつ、yが有\\
理数」である\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{1}}\ (1)x,yを実数とする。次の条件を考える。\hspace{130pt}\\
p:xyが無理数である\\
q:x,yがともに無理数である\\
r:x,yの少なくとも一方が無理数である\\
(\textrm{i})以下から真の命題をすべて選べ。\\
(\textrm{a})p \Rightarrow q\ \ \ (\textrm{b})p \Rightarrow r\ \ \ (\textrm{c})q \Rightarrow p\ \ \ (\textrm{d})q \Rightarrow r\ \ \ (\textrm{e})r \Rightarrow p\ \ \ (\textrm{f})r \Rightarrow q\ \ \ \\
(\textrm{ii})x,yが命題「p \Rightarrow q」の判例であるための必要十分条件を、すべて選べ。\\
(\textrm{a})「xyが無理数」かつ「x,yが共に有理数」である\\
(\textrm{b})「xyが有理数」かつ「x,yが共に有理数」である\\
(\textrm{c})「xyが有理数」かつ「xが有理数、または、yが有理数」である\\
(\textrm{d})「xyが無理数」かつ「xが有理数、または、yが有理数」である\\
(\textrm{e})「xyが無理数、かつxが有理数」または「xyが無理数、かつ、yが有\\
理数」である\\
(\textrm{f})「xyが無理数、かつxが有理数」または「xyが有理数、かつ、yが有\\
理数」である\\
\end{eqnarray}
福田の数学〜上智大学2022年TEAP理系型第１問(3)〜命題と必要十分な条件
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
1
(3) aを正の実数とする。 実数からなる集合X, Yを次で定める。
X={x|0 < x < a}, Y={y|3 < y < 5}
次のそれぞれの命題が成り立つための必要十分条件を、選択肢から1つずつ選べ。
(i) すべてのx∈Xとすべてのy∈Yに対してx
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1
(3) aを正の実数とする。 実数からなる集合X, Yを次で定める。
X={x|0 < x < a}, Y={y|3 < y < 5}
次のそれぞれの命題が成り立つための必要十分条件を、選択肢から1つずつ選べ。
(i) すべてのx∈Xとすべてのy∈Yに対してx
福田の数学〜上智大学2022年TEAP文系型第４問(1)〜必要十分条件と条件の否定
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ (1)\ 実数の数列{a_n}に関する以下の条件 (P) を考える。\hspace{120pt}\\
(P) 「n\geqq Nならば a_n \leqq 4」が成り立つ自然数Nが存在する\hspace{70pt}\\
(\textrm{i}) 以下の選択肢から、(P) であるための必要十分条件をすべて選べ。\hspace{50pt}\\
(\textrm{ii}) 以下の選択肢から、(P) であるための必要条件ではあるが十分条件ではないもの\\
をすべて選べ。\hspace{240pt}\\
(\textrm{iii}) 以下の選択肢から、(P) の否定であるものをすべて選べ。\hspace{80pt}\\
選択肢(\textrm{a})「n\gt N ならばa_n \leqq 4」が成り立つ自然数Nが存在する\hspace{60pt}\\
(\textrm{b}) 「n \lt N ならばan \leqq 4」 が成り立つ自然数Nが存在する\hspace{57pt}\\
(\textrm{c}) 「n\geqq Nならばa_n\gt 4」 が成り立つ自然数Nが存在する\hspace{60pt}\\
(\textrm{d}) a_n \gt 4 を満たす自然数n が無限個存在する\hspace{115pt}\\
(\textrm{e}) a_n \leqq 4 を満たす自然数nが無限個存在する\hspace{116pt}\\
(\textrm{f}) a_n \gt 4 を満たす自然数nは存在しても有限個である\hspace{85pt}\\
(\textrm{g}) a_n \leqq 4 を満たす自然数nは存在しても有限個である\hspace{85pt}\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ (1)\ 実数の数列{a_n}に関する以下の条件 (P) を考える。\hspace{120pt}\\
(P) 「n\geqq Nならば a_n \leqq 4」が成り立つ自然数Nが存在する\hspace{70pt}\\
(\textrm{i}) 以下の選択肢から、(P) であるための必要十分条件をすべて選べ。\hspace{50pt}\\
(\textrm{ii}) 以下の選択肢から、(P) であるための必要条件ではあるが十分条件ではないもの\\
をすべて選べ。\hspace{240pt}\\
(\textrm{iii}) 以下の選択肢から、(P) の否定であるものをすべて選べ。\hspace{80pt}\\
選択肢(\textrm{a})「n\gt N ならばa_n \leqq 4」が成り立つ自然数Nが存在する\hspace{60pt}\\
(\textrm{b}) 「n \lt N ならばan \leqq 4」 が成り立つ自然数Nが存在する\hspace{57pt}\\
(\textrm{c}) 「n\geqq Nならばa_n\gt 4」 が成り立つ自然数Nが存在する\hspace{60pt}\\
(\textrm{d}) a_n \gt 4 を満たす自然数n が無限個存在する\hspace{115pt}\\
(\textrm{e}) a_n \leqq 4 を満たす自然数nが無限個存在する\hspace{116pt}\\
(\textrm{f}) a_n \gt 4 を満たす自然数nは存在しても有限個である\hspace{85pt}\\
(\textrm{g}) a_n \leqq 4 を満たす自然数nは存在しても有限個である\hspace{85pt}\\
\end{eqnarray}
福田の数学〜早稲田大学2022年人間科学部第１問(1)〜命題の真偽とカードの裏表
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{1}}\ (1)表面にアルファベットが、裏面には自然数が書かれている5枚のカードが、\\
次のように置かれている。\\
\\
{\large\boxed{P}}\hspace{45pt}{\large\boxed{Q}}\hspace{45pt}{\large\boxed{1}}\hspace{45pt}{\large\boxed{3}}\hspace{45pt}{\large\boxed{6}}\hspace{45pt}\\
\\
これら5枚のカードに対する命題「表面がアルファベットPならば、裏面は\\
素数である」の審議を調べるために、できるだけ少ない枚数のカードを裏返\\
して確認したい。左からn番目の位置にあるカードを裏返す必要があるとき\\
にはa_n=1、必要のないときにはa_n=0とするとき\hspace{90pt}\\
\sum_{k=1}^5 a_k2^{k-1}=\boxed{\ \ ア\ \ }\hspace{140pt}\\
\\
である。\hspace{260pt}
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{1}}\ (1)表面にアルファベットが、裏面には自然数が書かれている5枚のカードが、\\
次のように置かれている。\\
\\
{\large\boxed{P}}\hspace{45pt}{\large\boxed{Q}}\hspace{45pt}{\large\boxed{1}}\hspace{45pt}{\large\boxed{3}}\hspace{45pt}{\large\boxed{6}}\hspace{45pt}\\
\\
これら5枚のカードに対する命題「表面がアルファベットPならば、裏面は\\
素数である」の審議を調べるために、できるだけ少ない枚数のカードを裏返\\
して確認したい。左からn番目の位置にあるカードを裏返す必要があるとき\\
にはa_n=1、必要のないときにはa_n=0とするとき\hspace{90pt}\\
\sum_{k=1}^5 a_k2^{k-1}=\boxed{\ \ ア\ \ }\hspace{140pt}\\
\\
である。\hspace{260pt}
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2022年看護医療学部第２問(3)〜平方数を３で割った余りに関する論証
単元：
#数Ⅰ#数A#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ (3)次の2つの命題を証明せよ。\hspace{170pt}\\
(\textrm{i})整数nが3の倍数でないならば、n^2を3で割った時の余りは1である。\\
(\textrm{ii})3つの整数x,y,zが等式x^2+y^2=z^2を満たすならば、\hspace{53pt}\\
xとyの少なくとも一方は3の倍数である。\hspace{105pt}\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ (3)次の2つの命題を証明せよ。\hspace{170pt}\\
(\textrm{i})整数nが3の倍数でないならば、n^2を3で割った時の余りは1である。\\
(\textrm{ii})3つの整数x,y,zが等式x^2+y^2=z^2を満たすならば、\hspace{53pt}\\
xとyの少なくとも一方は3の倍数である。\hspace{105pt}\\
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2022年商学部第１問(1)〜倍数の個数を数える
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (1)1から1000までの整数のうち、2,3,5の少なくとも2つで割り切れる数\\
は\boxed{\ \ アイウ\ \ }\ 個あり、2,3,5の少なくとも1つで割り切れ、\\
かつ6で割り切れない数は\boxed{\ \ エオカ\ \ }\ 個ある。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (1)1から1000までの整数のうち、2,3,5の少なくとも2つで割り切れる数\\
は\boxed{\ \ アイウ\ \ }\ 個あり、2,3,5の少なくとも1つで割り切れ、\\
かつ6で割り切れない数は\boxed{\ \ エオカ\ \ }\ 個ある。
\end{eqnarray}
∩∪のイメージある？
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
集合の記号の$\cup \cap$についての説明動画です
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集合の記号の$\cup \cap$についての説明動画です
cos1°は有理数か【数学 入試問題】【チェビシェフ多項式】
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#三角関数#加法定理とその応用#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#埼玉大学#数B
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
(1)$n$を自然数とする。
$cos(n+2)\theta+cos n\theta=2cos(n+1)\theta cos\theta$を示せ。
(2)自然数$n$に対し、$cosn\theta=T_n(cos\theta)$を満たす整数係数の$n$次の整式$T_n(x)$が存在することを示せ。
(3)$cos1°$が無理数であることを証明せよ。
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(1)$n$を自然数とする。
$cos(n+2)\theta+cos n\theta=2cos(n+1)\theta cos\theta$を示せ。
(2)自然数$n$に対し、$cosn\theta=T_n(cos\theta)$を満たす整数係数の$n$次の整式$T_n(x)$が存在することを示せ。
(3)$cos1°$が無理数であることを証明せよ。
【有名問題】京都大学の伝説の問題です【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#三角関数#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$ tan1°$は有理数か？
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$ tan1°$は有理数か？
格子点を通るということは？【山口大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#三角関数#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山口大学
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
座標平面上で、$x$座標,$y$座標が共に整数である点を格子点という。
原点を通る2直線$l,m$がそれぞれ原点以外にも格子点を通るとき、
$l,m$のなす角は、$60°$にならないことを証明せよ。
ただし、$\sqrt3$が無理数であることを証明なしに用いても良い。
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座標平面上で、$x$座標,$y$座標が共に整数である点を格子点という。
原点を通る2直線$l,m$がそれぞれ原点以外にも格子点を通るとき、
$l,m$のなす角は、$60°$にならないことを証明せよ。
ただし、$\sqrt3$が無理数であることを証明なしに用いても良い。
整数問題【一橋大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$x$は0でない実数とする。$x-\dfrac{1}{x}$が0以外の整数ならば$x^2-\dfrac{1}{x^2}$は整数でないことを示せ。
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$x$は0でない実数とする。$x-\dfrac{1}{x}$が0以外の整数ならば$x^2-\dfrac{1}{x^2}$は整数でないことを示せ。
π=3はやばい？
【数Ⅰ】命題ってなに？【必要条件・十分条件の見分け方】
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
命題(必要条件・十分条件の見分け方)に関して解説していきます.
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命題(必要条件・十分条件の見分け方)に関して解説していきます.
【数Ⅰ】中高一貫校問題集3(論理・確率編)10：集合と命題：集合：要素の決定
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
教材：
#TK数学#TK数学問題集3(論理・確率編)#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
A=｛2,4,x-1｝,B=｛3,2x-y-1｝,C=｛2,2x+z-2｝とする。
B⊂A、B=Cが成り立つとき、x,y,zの値を求めよう。
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A=｛2,4,x-1｝,B=｛3,2x-y-1｝,C=｛2,2x+z-2｝とする。
B⊂A、B=Cが成り立つとき、x,y,zの値を求めよう。
福田のわかった数学〜高校１年生037〜部屋割り論法(2)の訂正版
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(2)\\
座標平面上に異なる5個の格子点がある。これら5個の格子点の中に、\\
結んだ線分の中点がまた格子点となるような2点が存在することを示せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(2)\\
座標平面上に異なる5個の格子点がある。これら5個の格子点の中に、\\
結んだ線分の中点がまた格子点となるような2点が存在することを示せ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生037〜部屋割り論法(2)
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(2)\\
座標平面上で異なる5個の格子点の\\
どれか2個を結ぶと、その中点が格子点になることを証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(2)\\
座標平面上で異なる5個の格子点の\\
どれか2個を結ぶと、その中点が格子点になることを証明せよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第４問〜条件を満たす部分集合の個数
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} A_n=\left\{1,2,\ldots,n\right\}を、1からnまでの自然数の集合とする。SをA_nの部分集合\\
(空集合およびA_n自身も含む)としたとき、S'をSの要素それぞれに1を加えてできた\\
集合とする。またS''をS'の要素それぞれにさらに1を加えてできた集合とする。\\
たとえば、A_3=\left\{1,2,3\right\}の部分集合S=\left\{1,3\right\}の場合、S'=\left\{2,4\right\},S''=\left\{3,5\right\}\\
\\
(1)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合S=\left\{1,2,3\right\}はS \cup S'=A_4となる。このように\\
A_4の部分集合でS \cup S'=A_4となるものは\left\{1,2,3\right\}と\left\{1,\boxed{\ \ ア\ \ }\right\}の2つである。\\
\\
(2)A_nの部分集合SでS \cup S'=A_nとなるようなSの個数をa_nとすると、(1)から\\
分かるようにa_4=2であり\\
a_5=\boxed{\ \ イウ\ \ },a_6=\boxed{\ \ エオ\ \ },a_7=\boxed{\ \ カキ\ \ },a_8=\boxed{\ \ クケ\ \ },\ldots,a_{16}=\boxed{\ \ コサシ\ \ }\\
となる。\\
\\
(3)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合SでS \cup S''=A_4となるものはS=\left\{1,\boxed{\ \ ス\ \ }\right\}だけ\\
である。\\
\\
(4)A_nの部分集合SでS \cup S''=A_nとなるようなSの個数をb_nとすると、(3)から\\
分かうようにb_4=1であり\\
b_5=\boxed{\ \ セソ\ \ },b_6=\boxed{\ \ タチ\ \ },b_7=\boxed{\ \ ツテ\ \ },b_8=\boxed{\ \ トナ\ \ },\ldots,b_{16}=\boxed{\ \ ニヌネ\ \ }\\
となる。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} A_n=\left\{1,2,\ldots,n\right\}を、1からnまでの自然数の集合とする。SをA_nの部分集合\\
(空集合およびA_n自身も含む)としたとき、S'をSの要素それぞれに1を加えてできた\\
集合とする。またS''をS'の要素それぞれにさらに1を加えてできた集合とする。\\
たとえば、A_3=\left\{1,2,3\right\}の部分集合S=\left\{1,3\right\}の場合、S'=\left\{2,4\right\},S''=\left\{3,5\right\}\\
\\
(1)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合S=\left\{1,2,3\right\}はS \cup S'=A_4となる。このように\\
A_4の部分集合でS \cup S'=A_4となるものは\left\{1,2,3\right\}と\left\{1,\boxed{\ \ ア\ \ }\right\}の2つである。\\
\\
(2)A_nの部分集合SでS \cup S'=A_nとなるようなSの個数をa_nとすると、(1)から\\
分かるようにa_4=2であり\\
a_5=\boxed{\ \ イウ\ \ },a_6=\boxed{\ \ エオ\ \ },a_7=\boxed{\ \ カキ\ \ },a_8=\boxed{\ \ クケ\ \ },\ldots,a_{16}=\boxed{\ \ コサシ\ \ }\\
となる。\\
\\
(3)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合SでS \cup S''=A_4となるものはS=\left\{1,\boxed{\ \ ス\ \ }\right\}だけ\\
である。\\
\\
(4)A_nの部分集合SでS \cup S''=A_nとなるようなSの個数をb_nとすると、(3)から\\
分かうようにb_4=1であり\\
b_5=\boxed{\ \ セソ\ \ },b_6=\boxed{\ \ タチ\ \ },b_7=\boxed{\ \ ツテ\ \ },b_8=\boxed{\ \ トナ\ \ },\ldots,b_{16}=\boxed{\ \ ニヌネ\ \ }\\
となる。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生035〜必要条件・十分条件
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 必要条件・十分条件\\
a \gt 0とする。2つの条件p,qを\\
p:|x-1| \leqq a, q:|x| \lt 2 とする。\\
\\
(1)pがqの十分条件となるaの範囲\\
(2)pがqの必要条件となるaの範囲\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 必要条件・十分条件\\
a \gt 0とする。2つの条件p,qを\\
p:|x-1| \leqq a, q:|x| \lt 2 とする。\\
\\
(1)pがqの十分条件となるaの範囲\\
(2)pがqの必要条件となるaの範囲\\
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第１問(3)〜集合の要素の個数と2次方程式の解
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#複素数と方程式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#複素数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)整数kに対して、xの2次方程式x^2+kx+k+35=0の解を\alpha_k,\beta_kとおく。\\
ただし、方程式が重解をもつときは\alpha_k=\beta_kである。また\\
U=\left\{k|kは整数、かつ|k| \leqq 100 \right\}\\
を全体集合とし、その部分集合\\
A=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kはともに実数で\alpha_k≠\beta_k\right\}\\
B=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kの実数はともに2より大きい\right\}\\
C=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kの実部と虚部はすべて整数\right\}\\
を考える。このときn(A)=\boxed{\ \ (か)\ \ },n(A \cap B)=\boxed{\ \ (き)\ \ },n(\bar{ A } \cap B)=\boxed{\ \ (く)\ \ },\\
n(A \cap C)=\boxed{\ \ (け)\ \ },n(\bar{ A } \cap C)=\boxed{\ \ (こ)\ \ }である。ただし有限集合Xに対して\\
その要素の個数をn(X)で表す。また\bar{ A }はAの補集合である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)整数kに対して、xの2次方程式x^2+kx+k+35=0の解を\alpha_k,\beta_kとおく。\\
ただし、方程式が重解をもつときは\alpha_k=\beta_kである。また\\
U=\left\{k|kは整数、かつ|k| \leqq 100 \right\}\\
を全体集合とし、その部分集合\\
A=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kはともに実数で\alpha_k≠\beta_k\right\}\\
B=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kの実数はともに2より大きい\right\}\\
C=\left\{k|k \in Uかつ\alpha_k,\beta_kの実部と虚部はすべて整数\right\}\\
を考える。このときn(A)=\boxed{\ \ (か)\ \ },n(A \cap B)=\boxed{\ \ (き)\ \ },n(\bar{ A } \cap B)=\boxed{\ \ (く)\ \ },\\
n(A \cap C)=\boxed{\ \ (け)\ \ },n(\bar{ A } \cap C)=\boxed{\ \ (こ)\ \ }である。ただし有限集合Xに対して\\
その要素の個数をn(X)で表す。また\bar{ A }はAの補集合である。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生034〜背理法(2)
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 背理法(2)\\
\sqrt2,\sqrt[3]3が無理数であることを既知として次を証明せよ。\\
p,q,\sqrt2p+\sqrt[3]3qが全て有理数 \Rightarrow p=q=0
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 背理法(2)\\
\sqrt2,\sqrt[3]3が無理数であることを既知として次を証明せよ。\\
p,q,\sqrt2p+\sqrt[3]3qが全て有理数 \Rightarrow p=q=0
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生033〜背理法(1)
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 背理法(1)\\
\sqrt2,\ \sqrt[3]3 が無理数であることを証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 背理法(1)\\
\sqrt2,\ \sqrt[3]3 が無理数であることを証明せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生032〜否定分の作り方(2)
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 否定分の作り方(2)\\
次の関数f(x)についての命題を否定せよ。\\
\\
「N以上の全ての自然数nについてf(n) \leqq 2」\\
が成り立つような自然数Nが存在する。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 否定分の作り方(2)\\
次の関数f(x)についての命題を否定せよ。\\
\\
「N以上の全ての自然数nについてf(n) \leqq 2」\\
が成り立つような自然数Nが存在する。
\end{eqnarray}