【演習】極限の式変形の方針について解説しました！【数学III】

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} \frac{c o s a x - c o s b x}{x^{2}}

を求めよ

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} \frac{c o s a x - c o s b x}{x^{2}}

を求めよ

投稿日：2023.12.16

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問題文全文(内容文)：
aを実数、

0 < a < 1

とし、

f (x) = \log (1 + x^{2}) - a x^{2}

とする。以下の問いに答えよ.
(1)関数f(x)の極値を求めよ。
(2)

f (1) = 0

とする。曲線

y = f (x)

とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

n

は自然数とする.

a_{1} = 1

であり,

a_{n + 1} = 27^{n^{2} - 3 n - 9} a_{n}

とする.

(1)一般項

a_{n}

を求めよ.
(2)

a_{n}

が最小となる値を求めよ.

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【数Ⅲ】極限：次の無限級数の和を求めよう。Σ［n=1~∞］(1/3)^n cosnπ

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問題文全文(内容文)：
次の無限級数の和を求めよう。

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{n} \cos n π

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

nを自然数、aを正の定数とする。関数f(x)は等式

f (x) = x + \frac{1}{n} \int_{0}^{x} f (t) d t

を満たし、関数g(x)は

g (x)

a e^{- \frac{x}{n}} + a

とする。2つの曲線y=f(x)とy=g(x)はある1点を共有し、その点における2つの接線が直交するとき、次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)h(x)=

e^{- \frac{x}{n}} f (x)

とおくとき、導関数h'(x)とh(x)を求めよ。
(2)aをnを用いて表せ。
(3)2つの曲線y=f(x), y=g(x)とy軸で囲まれた部分の面積を

S_{n}

とするとき、
極限値

lim_{n \to \infty} \frac{S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}}{n^{3}}

　を求めよ。

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