問題文全文(内容文)：
①$z^4=-8+8\sqrt3i$　を解け。
②$z=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}i$　のとき、$(1+\sqrt3i)z^n+2i=0$
を満たす最小の自然数$n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$n$を自然数とし、$\displaystyle \alpha = \cos \frac{\pi}{n}+i\sin \frac{\pi}{n}$とする。次の問いに答えよ。
(1) $1+ \alpha +\alpha^2 + \cdots\cdots +\alpha^{2n-1}$の値を求めよ。
(2) $z^{2n}=1$の解は$1, \alpha, \alpha^2, \cdots\cdots, \alpha^{2n-1}$であることを示せ。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$(1)座標平面において、点$(-1,\ 0)$からの距離と点$(1,\ 0)$からの距離の和が4
である点は方程式$\frac{x^2}{\boxed{\ \ ア\ \ }}+\frac{y^2}{\boxed{\ \ イ\ \ }}=1$で表される曲線C上にある。点$(x,\ y)$
が曲線C上を動くとき、点$(x,\ y)$と点$(-1,\ 0)$の距離をdとおけば、dの最小値
は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$、最大値は$\boxed{\ \ エ\ \ }$となる。複素数$z$が$|z|+|z-4|=8$を満たすとき、
$|z|$のとりうる範囲は$\boxed{\ \ オ\ \ } \leqq |z| \leqq \boxed{\ \ カ\ \ }$である。

2021明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle
\fcolorbox{#000}{ #fff }{3}
整数からなる数列\{a_n\} \ (n=1,2,3,...)を次の規則1、2により定める。
$

$\displaystyle
(規則1)a_1=0 , \ a_2=1である。
$

$
\displaystyle(規則2)k=1,2,3,...について、初項から第2^{k+1}項までに値のそれぞれに1を加え、\\ それらすべてを逆の順序にしたものが第2^k+1項から第2^{k+1}項までの値と定める。
$

$\displaystyle
(1)以上の規則により得られる数列\{ a_n \}において、a_{10}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ア \ \ \ $}であり、a_{16}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$イ \ \ \ $}である。 \\
また第2^k項(k=5,6,7,...)の値は\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ウ \ \ \ $}である。
$

$\displaystyle
(2)a_{518}を求めたい。上記の規則2によれば、1 \leqq i \leqq 2^kを満たすiに対して、 \\
a_iに1を加えた数と第
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$エ \ \ \ $}
項が、等しいと定めている。 \\
実際に、2^b < 518 \leqq 2^{b+1}を満たすような整数bは
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$オ \ \ \ $}
であることに注意すれば、a_{518}=
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$カ \ \ \ $}
である。
$

$\displaystyle
(3)点O_k(k=1,2,3,...)を次のように定める。\\
数列 \{ a_n \}の初項から第2^k項に着目し、a_nを4で割った余りにしたがって、ベクトル\vec{e_n}を
$

$
\vec{e_n}=
\left\{
\begin{array}{l}
(1,0) \quad a_nが4の倍数のとき \\
(0,1) \quad a_nを4で割った余りが1のとき \\
(-1,0) \quad a_nが4で割った余りが2のとき \\
(0,-1) \quad a_nを4で割った余りが3のとき
\end{array}
\right.
$

$
\displaystyle
によって定め、\\
点P_1の位置ベクトルを\overrightarrow{OP_1}=\vec{e_1}+\vec{e_2}とし、\\
点P_k(k=2,3,4,...)の位置ベクトルを\\
\overrightarrow{OP_k}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}+...+\vec{e_{2^k}}とする。\\
たとえば、 \\
\overrightarrow{OP_w}=(1,0)+(0,1)+(-1,0)+(0,1)=(0,2)である。\\
\{a_n\}を定める規則に注目すると、 \\
\overrightarrow{OP_{k+1}} は \overrightarrow{OP_k} の\fcolorbox{#000}{ #fff }{$キ \ \ \ $}倍であり、\\
\angle P_kOP_{k+1}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ク \ \ \ $}である。\\
このことから\\
\overrightarrow{OP_{99}}=(\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ケ \ \ \ $},\fcolorbox{#000}{ #fff }{$コ \ \ \ $})である。
$

問題文全文(内容文)：
$x_0=0,y_0=-1$のとき、非負整数$n\geqq 0$に対して、
$x_{n+1}=(\cos \frac{3\pi}{11})x_n-(\sin \frac{3\pi}{11)}y_n$
$y_{n+1}=(\cos \frac{3\pi}{11})x_n+(\sin \frac{3\pi}{11)}y_n$
のとき、$x_n$が最小となる最初のnを求めよ。

2023早稲田大学教育学部過去問