問題文全文(内容文)：
$a_n{\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3}{)}^n+(1-\sqrt{3}{)}^n}{4}}$
$n\geqq 2$の自然数

（1）
$a_n$は整数

（2）
$a_n$を3で割ると余りは2である

出典：2013年千葉大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
正の整数$m$に対して
$a^2+b^2+c^2+d^2=m,$$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$　$\cdots$①
を満たす整数$a,b,c,d$の組がいくつあるかを考える。

(1)$m=14$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$
は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})$
のただ一つである。
また、$m=28$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組の個数は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個である。

(2)$a$が奇数のとき、整数$n$を用いて$a=2n+1$と表すことができる。
このとき、$n(n+1)$は偶数であるから、次の条件が全ての奇数$a$で成り立つ
ような正の整数$h$のうち、最大のものは$h=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$である。

条件:$a^2-1$は$h$の倍数である。

よって、$a$が奇数の時、$a^2$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$で割った時の余りは$1$である。
また、$a$が偶数の時、$a^2$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$で割った時の余りは、$0$または$4$の
いずれかである。

(3)(2)により、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の倍数ならば、整数$a,b,c,d$
のうち、偶数であるものの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$個である。

(4)(3)を用いることにより、$m$が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の倍数であるとき、①を満たす整数
$a,b,c,d$が求めやすくなる。
例えば、$m=224$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}})$
のただ1つであることが分かる。

(5)7の倍数で896の約数である正の整数$m$のうち、①を満たす整数$a,b,c,d$
の組の個数が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個であるものの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$個であり、
そのうち最大のものは$m=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
「20+20=200」になる理由を解説しています。

問題文全文(内容文)：
$a^2-b^2$が素数のとき
a-b=?
(a,bはともに自然数で、a＞b)

國學院高等学校

問題文全文(内容文)：
整数$n\geqq 0$,$F_n=2^{2^n}+1$とする.

(1)$F_{n+1}=F_0{F}_1{F}_2･･････F_n+2$を示せ.
(2)$m\ne n$であり,$F_m$と$F_n$は互いに素を示せ.

2005山口大過去問