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共通テストで使えるベクトルの裏技説明動画です（s, t問題）

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2024共通テスト数学ⅠA第3問解説です

箱の中にカ ー ドが 2 枚以上入っており、それぞれのカ ードにはアルファベットが一文字だけ書かれている。この箱の中からカ ー ドを一枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行をり返し行う。
(1)箱の中にA,Bのカードが 1 枚ずつ全部で 2 枚入っている場合を考える。以下では、2 以上の自然数nに対しn回の試行で A. Bがそろっているとは、n回の試行でA,Bのそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
(i)２回の試行でA,Bがそろっている確率は$\dfrac{ア}{イ}$である。
(ii)３回の試行でA,Bがそろっている確率を求める。
　例えば、３回の試行のうちAを１回、Bを２回取り出す取り出し方は３通りあり、それらを全て挙げると次のようになる。※表は動画内参照
このように考えることにより、3 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はウ通りあることがわかる。よって、3 回の試行で A. B がそろっている確率は$\dfrac{ウ}{2^3}$である。
(iii) 4 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はエオ通りある。 よって、4 回の試行でA,B がそろっている確率は$\dfrac{カ}{キ}$である。
(2)箱の中にA,B,Cのカ ー ドが一枚ずつ全で 3 枚入っている場合を考える。
以下では、3 以上の自然数nに対しn回目の試行で初めて A. B. C がそろうとn回の試行で A,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出されかつA,B.Cのうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
(i)3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう取り出し方はク通りある。よって、3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ク}{3^3}$である。
(ii) 4 回目の試行で初めて A.B,C がそろう確率を求める。4 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方は.(1)の(ii)を振り返ることにより、3×ウ通りあることがわかる。よって、4 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ケ}{コ}$である。
(iii)5 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方はサシ通りある。よってを 5 回目の試行で初めてA,B,Cがそろう確率は$\dfrac{サシ}{3^3}$である。
太郎さんと花子さんは. 6 回目の試行で初めて A. B, C, D がそろう確率について考えている。
太郎:例えば. 5 回目までにA,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出され.かっ 6 回目に初めてDが取り出される場合を考えたら計算できそうだね。
花子:それなら初めて A. B. C だけがそろうのが, 3 回目のとき. 4 回目のとき. 5 回目のときで分けて考えてみてはどうかな。
6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろう取り出し方がク通りであることに注意すると「 6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろい、かつ6 回目の試行で初めてDが取り出される取り出し方はスセ通りあることがわかる。同じように考えると６回の試行のうち 4 回目の試行で初めて A, B, C だけがそろい、かっ 6 回目の試行で初めてDが取り出される」取り出し方はソタ通りあることもわかる。以上のように考えることにより, 6 回目の試行で初めて A. B. C, D がそろう確率は$\dfrac{チツ}{テトナ}$であることがわかる。

2024共通テスト過去問

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共通テスト出題予想2024【地歴公民・数学・英語・国語】

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${\large第1問}$
[1]　(1)$\log_{10}10=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また、$\log_{10}5,\log_{10}15$をそれぞれ
$\log_{10}2と\log_{10}3$を用いて表すと
$\log_{10}5=\boxed{\ \ イ\ \ }\log_{10}2+\boxed{\ \ ウ\ \ }$
$\log_{10}15=\boxed{\ \ エ\ \ }\log_{10}2+\log_{10}3+\boxed{\ \ オ\ \ }$
(2)太郎さんと花子さんは、$15^{20}$について話している。
以下では、$\log_{10}2=0.3010、\log_{10}3=0.4771$とする。

太郎:$15^{20}$は何桁の数だろう。
花子:$15$の20乗を求めるのは大変だね。$\log_{10}15^{20}$の整数部分に
着目してみようよ。

$\log_{10}15^{20}$は
$\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}15^{20} \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }+1$
を満たす。よって、$15^{20}は\boxed{\ \ クケ\ \ }$桁の数である。

太郎:$15^{20}$の最高位の数字も知りたいね。だけど、$\log_{10}15^{20}$の
整数部分にだけ着目してもわからないな。
花子:$N・10^{\boxed{カキ}} \lt 15^{20} \lt (N+1)・10^{\boxed{カキ}}$を満たすような
正の整数Nに着目してみたらどうかな。

$\log_{10}15^{20}$の小数部分は$\log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }$であり
$\log_{10}\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}(\boxed{\ \ コ\ \ }+1)$
が成り立つので、$15^{20}$の最高位の数字は$\boxed{\ \ サ\ \ }$である。


[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点$P(\cos\theta,\sin\theta),$
$Q(\cos\alpha,\sin\alpha),R(\cos\beta,\sin\beta)$がある。ただし、$0 \leqq \theta \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi$
とする。このとき、$s$と$t$を次のように定める。
$s=\cos\theta+\cos\alpha+\cos\beta,　t=\sin\theta+\sin\alpha+\sin\beta$

(1)$\triangle PQR$が正三角形や二等辺三角形のときの$s$と$t$の値について考察しよう。
考察$1:\triangle PQR$が正三角形である場合を考える。
この場合、$\alpha,\beta$を$\theta$で表すと
$\alpha=\theta+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{3}\pi,　\beta=\theta+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{3}\pi$
であり、加法定理により
$\cos\alpha=\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},　\sin\alpha=\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$
である。同様に、$\cos\beta$および$\sin\beta$を、$\sin\theta$と$\cos\theta$を用いて表すことができる。
これらのことから、$s=t=\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
①$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
②$\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
③$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
④$-\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
⑤$-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
②$-\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
③$-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$

考察2:$\triangle PQR$が$PQ=PR$となる二等辺三角形である場合を考える。

例えば、点$P$が直線$y=x$上にあり、点$Q,R$が直線$y=x$に関して対称
であるときを考える。このとき、$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{4}$である。また、$\alpha$は
$\alpha \lt \displaystyle \frac{5}{4}\pi,　\beta$は$\displaystyle \frac{5}{4}\pi \lt \beta$を満たし、点$Q,R$の座標について、
$\sin\beta=\cos\alpha,　\cos\beta=\sin\alpha$が成り立つ。よって
$s=t=\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ チ\ \ }}}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}+\sin\alpha+\cos\alpha$
である。
ここで、三角関数の合成により
$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}\sin\left(\alpha+\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\right)$
である。したがって

$\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{12}\pi,　\beta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}{12}\pi$

のとき、$s=t=0$である。

(2)次に、$s$と$t$の値を定めるときの$\theta,\alpha,\beta$の関係について考察しよう。
考察$3:s=t=0$の場合を考える。

この場合、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$により、$\alpha$と$\beta$について考えると
$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$
である。
同様に、$\theta$と$\alpha$について考えると
$\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$
であるから、$\theta,\alpha,\beta$の範囲に注意すると
$\beta-\alpha=\alpha-\theta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\pi$
という関係が得られる。

(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、
正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$であることが分かる。
$\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$の解答群
⓪$\triangle PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$ならば
$\triangle PQR$は正三角形である。
①$\triangle PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$で
あっても$\triangle PQR$は正三角形でない場合がある。
②$\triangle PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があるが
$s=t=0$ならば$\triangle PQR$は正三角形である。
③$\triangle PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があり、
$s=t=0$であっても$\triangle PQR$が正三角形でない場合がある。