ただの連立二元三次方程式 - 質問解決D.B.(データベース)

ただの連立二元三次方程式

問題文全文(内容文):
x,yは実数
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(x + y)(x^2+y^2) = 520 \\
(x-y)(x^2-y^2) = 40
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
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問題文全文(内容文):
x,yは実数
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(x + y)(x^2+y^2) = 520 \\
(x-y)(x^2-y^2) = 40
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
投稿日:2023.07.20

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[1]$c$を正の整数とする。$x$の2次方程式
  $2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0$ について考える。

(1)$c=1$のとき、①の左辺を因数分解すると
  $([ア]x+[イ])(x-[ウ])$
  であるから、①の解は
  $x=-\displaystyle \frac{[イ]}{[ア]},[ウ]$である。

(2)$c=2$のとき、①の解は
  $x=\displaystyle \frac{-[エ] \pm \sqrt{ [オカ] }}{[キ]}$
  であり、大きい方の解を$a$とすると
  $\displaystyle \frac{5}{a}=\displaystyle \frac{[ク] + \sqrt{ [ケコ] }}{[サ]}$
  である。また、$m<\displaystyle \frac{5}{a}<m+1$を満たす整数は[シ]である。

(3)太郎さんと花子さんは、①の解について考察している。
-----------------
太郎:①の解は$c$の値によって、ともに有理数である場合もあれば、
   ともに無理数である場合もあるね。
   $c$がどのような値のときに、解は有理数になるのかな。

花子:2次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。
-----------------
①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数$c$の個数は[ス]個である。
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