問題文全文(内容文)：
$2^{55},3^{44},4^{33},5^{22}$を小さい順に並べなさい。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第1問}\\
[1](1)次の問題Aについて考えよう。\\
\boxed{\boxed{問題A}　関数y=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)の最大値を求めよ。}\\
\\
\sin\frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\frac{\sqrt3}{2},　\cos\frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\frac{1}{2}\\
であるから、三角関数の合成により\\
\\
y=\boxed{\ \ イ\ \ }\sin\left(\theta+\frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}\right)\\
\\
と変形できる。よって、yは\theta=\frac{\pi}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}で最大値\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ をとる。\\
\\
(2)pを定数とし、次の問題Bについて考えよう。\\
\boxed{\boxed{問題B}　関数y=\sin\theta+p\cos\theta\left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)の最大値を求めよ。}\\
\\
(\textrm{i})　p=0のとき、yは\theta=\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}で最大値\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ をとる。\\
(\textrm{ii})　p \gt 0のときは、加法定理\\
\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\\
を用いると\\
y=\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}\cos(\theta-\alpha)\\
と表すことができる。ただし、\alphaは\\
\sin\alpha=\frac{\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}}、\cos\alpha=\frac{\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}}、0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\\
を満たすものとする。このとき、yは\theta=\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}で最大値\\
\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}}をとる。\\
\\
(\textrm{iii})　p \lt 0のとき、yは\theta=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}で最大値\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}をとる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}の解答群(同じものを繰り返\\
し選んでもよい。)\\
⓪-1　①1　②-p　\\
③p　④1-p　⑤1+p　\\
⑥-p^2　⑦p^2　⑧1-p^2　\\
⑨1+p^2　ⓐ(1-p)^2　ⓑ(1+p)^2　\\
\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪0　①\alpha　②\frac{\pi}{2}　\\
\\
\\
[2]二つの関数f(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}、g(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}\ について考える。\\
\\
(1)f(0)=\boxed{\ \ セ\ \ }、g(0)=\boxed{\ \ ソ\ \ }である。また、f(x)は相加平均\\
と相乗平均の関係から、x=\boxed{\ \ タ\ \ }で最小値\ \boxed{\ \ チ\ \ }\ をとる。\\
g(x)=-2\ となるxの値は\log_2\left(\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}-\boxed{\ \ テ\ \ }\right)である。\\
\\
(3)次の①～④は、xにどのような値を代入しても常に成り立つ。\\
f(-x)=\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}　\cdots①\\
g(-x)=\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}　\cdots②\\
\left\{f(x)\right\}^2-\left\{g(x)\right\}^2=\boxed{\ \ ニ\ \ }　\cdots③\\
g(2x)=\boxed{\ \ ヌ\ \ }\ f(x)g(x)　\cdots④\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪f(x)　①-f(x)　②g(x)　③-g(x)　\\
\\
\\
(3)花子さんと太郎さんは、f(x)とg(x)の性質について話している。\\
\\
花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。\\
太郎:三角関数の加法定理に類似した式(\textrm{A})～(\textrm{D})を考えてみたけど、\\
常に成り立つ式はあるだろうか。\\
花子:成り立たない式を見つけるために、式(\textrm{A})～(\textrm{D})の\betaに何か具体\\
的な値を代入して調べてみたらどうかな。\\
\\
太郎さんが考えた式\\
f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta)　\cdots(\textrm{A})\\
f(\alpha+\beta)=f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta)　\cdots(\textrm{B})\\
g(\alpha-\beta)=f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta)　\cdots(\textrm{C})\\
g(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)-g(\alpha)f(\beta)　\cdots(\textrm{D})\\
\\
\\
(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式(\textrm{A})～(\textrm{D})のうち、\\
\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}以外の三つは成り立たないことが分かる。\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}は左辺と右辺\\
をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}の解答群\\
⓪(\textrm{A})　①(\textrm{B})　②(\textrm{C})　③(\textrm{D})　
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
指数関数のグラフと不等式に関して解説していきます.

問題文全文(内容文)：
$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3^{\frac{x}{2}}-2^y=7 \\
3^x-4^y=77
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
これを解け.$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第1問}\\
[1]　(1)\log_{10}10=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また、\log_{10}5,\log_{10}15をそれぞれ\\
\log_{10}2と\log_{10}3を用いて表すと\\
\log_{10}5=\boxed{\ \ イ\ \ }\log_{10}2+\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
\log_{10}15=\boxed{\ \ エ\ \ }\log_{10}2+\log_{10}3+\boxed{\ \ オ\ \ }\\
(2)太郎さんと花子さんは、15^{20}について話している。\\
以下では、\log_{10}2=0.3010、\log_{10}3=0.4771とする。\\
\\
太郎:15^{20}は何桁の数だろう。\\
花子:15の20乗を求めるのは大変だね。\log_{10}15^{20}の整数部分に\\
着目してみようよ。\\
\\
\log_{10}15^{20}は\\
\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}15^{20} \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }+1\\
を満たす。よって、15^{20}は\boxed{\ \ クケ\ \ }桁の数である。\\
\\
太郎:15^{20}の最高位の数字も知りたいね。だけど、\log_{10}15^{20}の\\
整数部分にだけ着目してもわからないな。\\
花子:N・10^{\boxed{カキ}} \lt 15^{20} \lt (N+1)・10^{\boxed{カキ}}を満たすような\\
正の整数Nに着目してみたらどうかな。\\
\\
\log_{10}15^{20}の小数部分は\log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }であり\\
\log_{10}\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}(\boxed{\ \ コ\ \ }+1)\\
が成り立つので、15^{20}の最高位の数字はboxed{\ \ サ\ \ }である。\\
\\
\\
[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点P(\cos\theta,\sin\theta),\\
Q(\cos\alpha,\sin\alpha),R(\cos\beta,\sin\beta)がある。ただし、0 \leqq \theta \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi\\
とする。このとき、sとtを次のように定める。\\
s=\cos\theta+\cos\alpha+\cos\beta,　t=\sin\theta+\sin\alpha+\sin\beta\\
\\
(1)\triangle PQRが正三角形や二等辺三角形のときのsとtの値について考察しよう。\\
考察1:\triangle PQRが正三角形である場合を考える。\\
この場合、\alpha,\betaを\thetaで表すと\\
\alpha=\theta+\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{3}\pi,　\beta=\theta+\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{3}\pi\\
であり、加法定理により\\
\cos\alpha=\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},　\sin\alpha=\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
である。同様に、\cos\betaおよび\sin\betaを、\sin\thetaと\cos\thetaを用いて表すことができる。\\
これらのことから、s=t=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta　①\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta　\\
②\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta　③\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta　\\
④-\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta　⑤-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta　\\
②-\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta　③-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta　\\
\\
考察2:\triangle PQRがPQ=PRとなる二等辺三角形である場合を考える。\\
\\
例えば、点Pが直線y=x上にあり、点Q,Rが直線y=xに関して対称\\
であるときを考える。このとき、\theta=\frac{\pi}{4}である。また、\alphaは\\
\alpha \lt \frac{5}{4}\pi,　\betaは\frac{5}{4}\pi \lt \betaを満たし、点Q,Rの座標について、\\
\sin\beta=\cos\alpha,　\cos\beta=\sin\alphaが成り立つ。よって\\
s=t=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ チ\ \ }}}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}+\sin\alpha+\cos\alpha\\
である。\\
ここで、三角関数の合成により\\
\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\right)\\
である。したがって\\
\\
\alpha=\frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{12}\pi,　\beta=\frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}{12}\pi\\
\\
のとき、s=t=0である。\\
\\
(2)次に、sとtの値を定めるときの\theta,\alpha,\betaの関係について考察しよう。\\
考察3:s=t=0の場合を考える。\\
\\
この場合、\sin^2\theta+\cos^2\theta=1により、\alphaと\betaについて考えると\\
\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}\\
である。\\
同様に、\thetaと\alphaについて考えると\\
\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha=\frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}\\
であるから、\theta,\alpha,\betaの範囲に注意すると\\
\beta-\alpha=\alpha-\theta=\frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\pi\\
という関係が得られる。\\
\\
(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、\\
正しいものは\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}であることが分かる。\\
\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}の解答群\\
⓪\triangle PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0ならば\\
\triangle PQRは正三角形である。\\
①\triangle PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0で\\
あっても\triangle PQRは正三角形でない場合がある。\\
②\triangle PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があるが\\
s=t=0ならば\triangle PQRは正三角形である。\\
③\triangle PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があり、\\
s=t=0であっても\triangle PQRが正三角形でない場合がある。
\end{eqnarray}