問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

平面上の三角形$OAB$を考える。

$\angle AOB$は鋭角、$OA=3,OB=t$とする。

また、点$A$から直線$OB$に下ろした垂線と

直線$OB$の交点を$C$とし、$OC=1$とする。

線分$AB$を$2:1$に内分する点を$P$、点$A$から

直線$OP$に下ろした垂線と直線$OB$との交点を

$R$とする。

(1)内積$\overrightarrow{OA}･\overrightarrow{OB}$を$t$を用いて表せ。

(2)線分$OR$の長さを$t$を用いて表せ。

(3)線分$OB$の中点を$M$とする。

点$R$が線分$MB$上にあるとき、

$t$のとりうる値の範囲を求めよ。

$2025$年大阪大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
平面上で原点Oと3点A(3,1)B(1,2)C(-1,1)を考える。実数s,tに対し、点PをOP=sOA+tOBにより定める。
(1)s,tが条件$-1≦s≦1,-1≦t≦1,-1≦s+t≦1$を満たすとき点P(x,y)の存在する範囲Dを図示しよう。
(2)点Pが(1)で求めた範囲Dを動くとき、内積OP・OCの最大値を求め、そのときのPの座標を求めよう。

問題文全文(内容文)：
aは$a\neq 1$を満たす正の実数とする。xy平面上の点$P_1,P_2,\ldots\ldots,P_n,\ldots\ldots$および
$Q_1,Q_2,\ldots\ldots,Q_n,\ldots\ldots$が、すべての自然数nについて
$\overrightarrow{ P_nP_{n+1} }=(1-a)\overrightarrow{ P_nQ_n },　　\overrightarrow{ Q_nQ_{n+1} }=(0, \frac{a^{-n}}{1-a})$
を満たしているとする。また$P_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする。
(1)$x_{n+2}$を$a,　x_n,　x_{n+1}$で表せ。
(2)$x_1=0,　x_2=1$のとき、数列$\left\{x_n\right\}$の一般項を求めよ。
(3)$y_1=\frac{a}{(1-a)^2},　y_2-y_1=1$のとき数列$\left\{y_n\right\}$の一般項を求めよ。

2022北海道大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$O$ を中心とする半径1の円周上の点 $P_1$ から図のように (図は動画内参照) 点 $Q$ を発射すると円の中を $P_2, \, P_3, \, \ldots $ と反射しながら止まることなく動き続けるとする。$\vec{OP_i}=\vec{p_i}$ とおく。$\vec{p_3}, \, \vec{p_4}$ を $\vec{p_1}, \, \vec{p_2}$ で表せ。$\vec{p_i}=\vec{p_1}$ となる最小の $i\ge2$ を求めよ。点 $Q$ が再び点 $P_1$ に到達するまでに、線分 $OQ$ がちょうど2回通過する領域の面積は？

問題文全文(内容文)：
平行四辺形$ABCD$において、対角線の交点を$E$、辺$CD$上の点で$CF:FD=2:3$を満たす点を$F$とする。
$\overrightarrow{ AB }=\vec{ b },\overrightarrow{ AD }=\vec{ d },\overrightarrow{ AE }=\vec{ e },\overrightarrow{ AF }=\vec{ f }$とするとき、$\vec{ b },\vec{ d }$を$\vec{ e },\vec{ f }$を用いて表せ。