単元:
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和(等差・等比・階差・Σ)#漸化式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数B
指導講師:
福田次郎
問題文全文(内容文):
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
を自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、をそのときの歩
行者の位置とする。
(1) 花子さんと太郎さんは、数列の一般項を求めるために、歩行者
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標
平面上の点(x,y)で表すことにした。
により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき
の時刻と位置を表す点の座標はである。よって
である。
花子:数列の一般項について考える前に、
の求め方について整理してみようか。
太郎:花子さんはどうやって求めたの?
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと
を利用したよ。
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を
計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標
はであり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、を用いて、
と表せる。
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪ ① ②
③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧
以上から、数列について、自然数nに対して、関係式
が成り立つことが分かる。まず、と②から
を得る。この結果と、および1から
がわかる。
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪ ①
② ③
④ ⑤
⑥ ⑦
⑧ ⑨
ⓐ ⓑ
(2)歩行者がの位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく
回数は回である。また、回目に自転車が歩行者に追いつく
時刻は、である。
2022共通テスト数学過去問
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