問題文全文(内容文)：
極方程式で表されたxy平面上の曲線$r=1+\cos\theta(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$をCとする。
(1)曲線C上の点を直交座標(x,y)で表したとき、$\frac{dx}{d\theta}=0$となる点、および
$\frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ。
(2)$\lim_{\theta \to \pi}\frac{dy}{dx}$を求めよ。
(3)曲線Cの概形をxy平面上にかけ。
(4)曲線Cの長さを求めよ。

2016神戸大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II}　軌跡(8)　媒介変数表示(1)\\
\left\{\begin{array}{1}
x=2\cos\theta+\sin\theta\\
y=\cos\theta-2\sin\theta
\end{array}\right.　　
(0 \leqq \theta \leqq \pi)\\
を満たす(x,y)の軌跡を図示せよ。\\
また、0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\piのときはどうか。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数列\textrm{III}　微分(3)　媒介変数表示\\
x=a(\theta-\sin\theta),　y=a(1-\cos\theta)のとき、\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}を\thetaで表せ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
$a,\ h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,\ y)$とする
と、$x,\ y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{ア})\ x^2+2\ \boxed{イ}\ x+y^2=\boxed{ウ}...(1)$

$\boxed{ア},\ \boxed{イ},\ \boxed{ウ}$の解答群
$⓪a^2 ①h^2 ②a^3 ③a^2h ④ah^2$
$⑤h^3 ⑥b^4 ⑦a^2h^2 ⑧ah^3 ⑨h^4$

次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\ \theta)$とする。$r \leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,\ y)$を$a,\ h,\ θ$を用いて表すと

$(x,\ y)=(\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \cos θ,\ \frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \sin θ)...(2) $
$\boxed{エ},\ \boxed{オ}$の解答群
$⓪h①ah②h^2③ah^2④1+a\cos θ$
$⑤1+a\sin θ ⑥a\cos θ-1⑦a\sin θ-1⑧1-a\cos θ ⑨1-a\sin θ$

(1)から、$a=\boxed{カ}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2\int_0^{\boxed{ケ}}xdy=2\int_0^{\boxed{ケ}}(\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク})dy=$
$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}\ h^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos θ}{(1+\cos θ)^2}dθ=\frac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}$

$\boxed{キ},\ \boxed{ク},\ \boxed{ケ}$の解答群
$⓪h ①2h ②\frac{h}{2} ③-\frac{h}{2} ④\frac{1}{h}$
$⑤-\frac{1}{h} ⑥\frac{1}{2h} ⑦-\frac{1}{2h} ⑧h^2 ⑨-h^2$

2022明治大学全統理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ (1)座標平面上の点P(x,y)を、点T(s,t)を中心として半時計周りに角\alphaだけ\\
回転させるときに、点Pが点P'(x',y')に移るとする。x'とy'をx,y,s,t,\alpha\\
の式で表すとx'=\boxed{\ \ ア\ \ },　y'=\boxed{\ \ イ\ \ }となる。\\
(2)aを正の実数とする。原点O(0,0)とする半径aの円Cに、半径\frac{a}{2}で原点O\\
を通る円Kを点A(a,0)において内接させる。この円Kを円Cに沿って\\
滑らないように転がす。ただし、KとCの接点がC上を半時計回りに動くようにする。\\
そして、接点の座標がはじめて(a\cos\beta,a\sin\beta)(0 \leqq \beta \leqq 2\pi)となるようにする。\\
円Kに対するこの操作は次の2段階の操作を続けて行うことと同等である。\\
(\textrm{i})点B(\frac{a}{2},0)を中心として、円Kを\boxed{\ \ ウ\ \ }\ に角\boxed{\ \ エ\ \ }\ だけ回転させる。\\
(\textrm{ii})原点Oを中心として、円Kを\boxed{\ \ オ\ \ }\ に角\boxed{\ \ カ\ \ }\ だけ回転させる。\\
\\
\boxed{\ \ ウ\ \ },\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ },\boxed{\ \ カ\ \ }の選択肢\\
時計回り,反時計回り,\beta,2\beta,\frac{1}{2}\beta\\
\\
\\
(3)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、Kの内部に固定された点Q(b,0)\\
(ただし、0 \lt b \lt a)をとる。円Kを、Cとの接点がC上を一周するまで(2)に述べた\\
やり方でCに沿って転がすとき、点Qが動いてできる曲線をS_1とする。S_1上の\\
点の座標を(x,y)として、S_1の方程式をx,yを用いて書くと\boxed{\ \ キ\ \ }となる。\\
\\
(4)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、円Cに固定された点R(0,a)をとる。\\
今度は円Kを固定して、円Cの方をKに接した状態で滑らないようにKに沿って転がす。\\
2つの円の接点が円Kを\boxed{\ \ ク\ \ }回転したとき、点Rははじめてもとの位置\\
(0,a)に戻る。Rが描く曲線をS_2とする。原点Oを極とし、x軸の正の部分を\\
始線とする極座標(r,\theta)によるS_2の極方程式はr=\boxed{\ \ ケ\ \ }である。\\
ただしr,\thetaはそれぞれS_2上の点の原点からの距離、および偏角である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学医学部過去問