問題文全文(内容文)：
$0＜\alpha＜\pi$で$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$のとき、$\sin2\alpha,\cos2\alpha$は？

問題文全文(内容文)：
三角形$ABC$において,$ tanA,tanB,tanC$の値がすべて整数であるとき,それらの値を求めよ。

一橋大過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1]　(1)$\log_{10}10=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また、$\log_{10}5,\log_{10}15$をそれぞれ
$\log_{10}2と\log_{10}3$を用いて表すと
$\log_{10}5=\boxed{\ \ イ\ \ }\log_{10}2+\boxed{\ \ ウ\ \ }$
$\log_{10}15=\boxed{\ \ エ\ \ }\log_{10}2+\log_{10}3+\boxed{\ \ オ\ \ }$
(2)太郎さんと花子さんは、$15^{20}$について話している。
以下では、$\log_{10}2=0.3010、\log_{10}3=0.4771$とする。

太郎:$15^{20}$は何桁の数だろう。
花子:$15$の20乗を求めるのは大変だね。$\log_{10}15^{20}$の整数部分に
着目してみようよ。

$\log_{10}15^{20}$は
$\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}15^{20} \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }+1$
を満たす。よって、$15^{20}は\boxed{\ \ クケ\ \ }$桁の数である。

太郎:$15^{20}$の最高位の数字も知りたいね。だけど、$\log_{10}15^{20}$の
整数部分にだけ着目してもわからないな。
花子:$N・10^{\boxed{カキ}} \lt 15^{20} \lt (N+1)・10^{\boxed{カキ}}$を満たすような
正の整数Nに着目してみたらどうかな。

$\log_{10}15^{20}$の小数部分は$\log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }$であり
$\log_{10}\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}(\boxed{\ \ コ\ \ }+1)$
が成り立つので、$15^{20}$の最高位の数字は$\boxed{\ \ サ\ \ }$である。


[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点$P(\cos\theta,\sin\theta),$
$Q(\cos\alpha,\sin\alpha),R(\cos\beta,\sin\beta)$がある。ただし、$0 \leqq \theta \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi$
とする。このとき、$s$と$t$を次のように定める。
$s=\cos\theta+\cos\alpha+\cos\beta,　t=\sin\theta+\sin\alpha+\sin\beta$

(1)$\triangle PQR$が正三角形や二等辺三角形のときの$s$と$t$の値について考察しよう。
考察$1:\triangle PQR$が正三角形である場合を考える。
この場合、$\alpha,\beta$を$\theta$で表すと
$\alpha=\theta+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{3}\pi,　\beta=\theta+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{3}\pi$
であり、加法定理により
$\cos\alpha=\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},　\sin\alpha=\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$
である。同様に、$\cos\beta$および$\sin\beta$を、$\sin\theta$と$\cos\theta$を用いて表すことができる。
これらのことから、$s=t=\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
①$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
②$\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
③$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
④$-\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
⑤$-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
②$-\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
③$-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$

考察2:$\triangle PQR$が$PQ=PR$となる二等辺三角形である場合を考える。

例えば、点$P$が直線$y=x$上にあり、点$Q,R$が直線$y=x$に関して対称
であるときを考える。このとき、$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{4}$である。また、$\alpha$は
$\alpha \lt \displaystyle \frac{5}{4}\pi,　\beta$は$\displaystyle \frac{5}{4}\pi \lt \beta$を満たし、点$Q,R$の座標について、
$\sin\beta=\cos\alpha,　\cos\beta=\sin\alpha$が成り立つ。よって
$s=t=\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ チ\ \ }}}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}+\sin\alpha+\cos\alpha$
である。
ここで、三角関数の合成により
$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}\sin\left(\alpha+\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\right)$
である。したがって

$\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{12}\pi,　\beta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}{12}\pi$

のとき、$s=t=0$である。

(2)次に、$s$と$t$の値を定めるときの$\theta,\alpha,\beta$の関係について考察しよう。
考察$3:s=t=0$の場合を考える。

この場合、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$により、$\alpha$と$\beta$について考えると
$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$
である。
同様に、$\theta$と$\alpha$について考えると
$\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$
であるから、$\theta,\alpha,\beta$の範囲に注意すると
$\beta-\alpha=\alpha-\theta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\pi$
という関係が得られる。

(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、
正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$であることが分かる。
$\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$の解答群
⓪$\triangle PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$ならば
$\triangle PQR$は正三角形である。
①$\triangle PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$で
あっても$\triangle PQR$は正三角形でない場合がある。
②$\triangle PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があるが
$s=t=0$ならば$\triangle PQR$は正三角形である。
③$\triangle PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があり、
$s=t=0$であっても$\triangle PQR$が正三角形でない場合がある。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II}　三角関数(21)　18°系の三角比(2)\\
0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2},　\cos2\theta=\cos3\thetaのとき\\
(1)\thetaを求めよ。\\
(2)\cos\thetaを求めよ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
$a \gt 0,b \lt 0$とする。放物線C:$y=\dfrac{3}{2}x^2$上の点A(a,$\dfrac{3}{2}a^2$)と点B(b,$\dfrac{3}{2}b^2$)について、点Aと点Bにおける放物線の接線をそれぞれlとmで表し、その好転をPとする。
(1)lとmが直交するとき、交点Pのy座標は$-\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$である。
(2)a=2で、$\angle APB=\dfrac{\pi}{4}$とする。このとき、bの値は$-\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}}$である。
(3)b=-aで、$\angle APB=\dfrac{\pi}{3}$とする。この時、aの値は$\dfrac{\sqrt{\fbox{カ}}}{\fbox{キ}}$である。また、PAを半径、$\angle APB$を中心角として扇形PABが定まる。この扇形は放物線Cによって２つの図形に分割され、大きい図形の面積と小さい図形の面積の差は$\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\pi-\dfrac{\fbox{コ}\sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$である。

2023慶應義塾大学商学部過去問