問題文全文(内容文)：
$x^3-x^2+2x-1=0$
実数解は無理数であることを示せ

出典：富山県立大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$[1]cを正の定数とする。xの2次方程式$2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0 \dots \mathrm{①}$
について考える。
(1)$c=1$のとき、①の左辺を因数分解すると$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}})(x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}})$であるから、
①の解は$x=-\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$である。

(2)$c=2$のとき、①の解は$x=\frac{-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}\pm \sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}$　であり、大きい方の解を$\alpha$とすると
$\frac{5}{\alpha }=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}+\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}$である。また、$m<\frac{5}{\alpha }<m+1$を満たす整数$m$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$である。

(3)太郎さんと花子さんは、①の解について考察している。
太郎:①の解はcの値によって、ともに有理数である場合もあれば、ともに無理数
である場合もあるね。cがどのような値のときに、解は有理数になるのかな。
花子:2次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。

①の解が異なる2つの有理数であるような正の整数cの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$個である。

2021共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
Euler's formula　中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう　Vol.2　 0!はいくつ？

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ 点Oを原点とする座標平面上の$\overrightarrow{0}$でない2つのベクトル
$\overrightarrow{m}$=($a$, $c$), $\overrightarrow{n}$=($b$, $d$)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル$\overrightarrow{q}$に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　$r\overrightarrow{m}$+$s\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{q}$を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　$r\overrightarrow{m}$+$s\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{q}$を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての$\overrightarrow{q}$に対して成り立つとする。D $\ne$ 0であることを示せ。
以下、D $\ne$ 0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル$\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$で
$\overrightarrow{m}\mathrm{・}\overrightarrow{v}$=$\overrightarrow{n}\mathrm{・}\overrightarrow{w}$=1,　$\overrightarrow{m}\mathrm{・}\overrightarrow{w}$=$\overrightarrow{n}\mathrm{・}\overrightarrow{v}$=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル$\overrightarrow{q}$に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
問2.次の問いに答えなさい。
(3)　正の数ｘに対して、ｘを超えない最大の整数をｘの整数部分、ｘからｘの整数部分を引いた値をｘの小数部分といいます。
たとえば$\sqrt{2}(＝1.414\dots )$については、$1<\sqrt{2}<2$より、$\sqrt{2}$の整数部分は1、$\sqrt{2}$の小数部分は$\sqrt{2}－1$となります。
$\sqrt{5}$の小数部分をaとするとき、$a^2＋4a$の値を求めなさい。