指数・対数・対称式 - 質問解決D.B.(データベース)

指数・対数・対称式

問題文全文(内容文):
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
43^x=2021 \\
47^y=2021
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$

$\dfrac{5xy+x+y}{4xy-x-y}$の値を求めよ.
単元: #数Ⅱ#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
43^x=2021 \\
47^y=2021
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$

$\dfrac{5xy+x+y}{4xy-x-y}$の値を求めよ.
投稿日:2021.07.21

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{1}}$ tを正の実数とする。$f(x)=x^3+3x^2-3(t^2-1)x+2t^3-3t^2+1$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)2t^3-3t^2+1 を因数分解せよ。
(2)$f(x)$が極小値0をもつことを示せ。
(3)$-1 \leqq x \leqq 2$における$f(x)$の最小値$m$と最大値$M$をtの式で表せ。

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{2}}}\ y=x^3-xにより定まる座標平面上の曲線をCとする。C上の点P(\alpha,\alpha^3-\alpha)を通り、\\
点PにおけるCの接線と垂直に交わる直線をlとする。Cとlは相異なる3点で交わるとする。\\
(1)\alphaのとりうる値の範囲を求めよ。\\
(2)Cとlの点P以外の2つの交点のx座標を\beta,\gammaとする。ただし\beta \lt \gammaとする。\\
\beta^2+\beta\gamma+\gamma^2-1≠0 となることを示せ。\\
(3)(2)の\beta,\gammaを用いて、\\
u=4\alpha^3+\frac{1}{\beta^2+\beta\gamma+\gamma^2-1}\\
と定める。このとき、uの取りうる値の範囲を求めよ。
\end{eqnarray}

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} [2]二つの関数f(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}, g(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2} について考える。\\
(1)f(0)=\boxed{\ \ セ\ \ }, g(0)=\boxed{\ \ ソ\ \ }\ である。また、f(x)は\\
相加平均と相乗平均の関係から、x=\boxed{\ \ タ\ \ }で最小値\boxed{\ \ チ\ \ }をとる。\\
g(x)=-2となるxの値は\log_2(\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}-\boxed{\ \ テ\ \ })である。\\
\\
(2)次の①~④は、xにどのような値を代入しても常に成り立つ。\\
f(-x)=\boxed{\ \ ト\ \ } \ldots①  g(-x)=\boxed{\ \ ナ\ \ } \ldots②\\
\left\{f(-x)\right\}^2-\left\{g(-x)\right\}^2=\boxed{\ \ ニ\ \ } \ldots③  
g(2x)=\boxed{\ \ ヌ\ \ }\ f(x)g(x) \ldots④\\
\\
\boxed{\ \ ト\ \ }、\boxed{\ \ ナ\ \ }の解答群\\
⓪f(x)    ①-f(x)    ②g(x)    ③-g(x)
\\
\\
(3)花子:①~④は三角関数の性質に似ているね。\\
太郎:三角関数の加法定理に類似した式(\textrm{A})~(\textrm{D})を考えてみたけど、常に\\
成り立つ式はあるだろうか。\\
花子:成り立たない式を見つけるために、式(\textrm{A})~(\textrm{D})の\betaに\\
何か具体的な値を代入して調べてみたら?\\
\\
太郎さんが考えた式\\
f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{A}) 
f(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{B})\\
f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{C}) 
f(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)-g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{D})\\
\\
(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式(\textrm{A})~(\textrm{D})のうち、\\
\boxed{\ \ ネ\ \ }以外の3つは成り立たないことが分かる。\boxed{\ \ ネ\ \ }は左辺と右辺を\\
それぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。\\
\\
\boxed{\ \ ネ\ \ }の解答群\\
⓪(\textrm{A})   ①(\textrm{B})   ②(\textrm{C})   ③(\textrm{D})
\end{eqnarray}

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