問題文全文(内容文)：
(1) 整数$n$を$2$で割った余りで分類することで、$3n^2-n$が$2$の倍数であることを証明せよ。
(2) 整数$n$を$3$で割った余りで分類することで、 $n^3-n+9$が$3$の倍数であることを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$ $S_n=\left(\dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1)\right)^2$

(1)一般項$a_n$を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^5$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数であり,$a_n=2^n,b_n=3n+2$とする.
数列${a_n}$の項のうち数列${b_n}$の項でもあるものを小さい順に並べた数列${C_n}$を求めよ.

1979大阪大過去問

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列$\{x_n\},\{y_n\}$を考える。
$x_1=1,y_1=5$　$x_{n+1}=x_n+y_n$　$y_{n+1}=5x_n+y_n(n=1,2,・・・)$

次の問いに答えよ。
（1）
$a_n=x_n+cy_n$とおいたとき、数列$\{a_n\}$が等比数列となるように定数$c$の値を定め、$a_n$を$n$の式で表せ。

（2）
$x_n$および$y_n$を$n$の式で表せ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$5$点$A,B,C,D$が

下図のように線分で結ばれている。

点$P_1,P_2,P_3,\cdots $を次のように定めていく。

$P_1$を$A$とする。

正の整数$n$に対して、$P_n$を端点とする線分を

ひとつ無作為にえらび、その線分の$P_n$とは

異なる端点$P_{n+1}$とする。

(1)$P_n$が$A$または$B$である確率$p_n$を求めよ。

(2)$P_n$が$A$または$B$であるとき、

$k=1,2,\cdots ,n$のいずれに対しても$P_k=E$とは

ならない条件付き確率$q_n$を求めよ。

図は動画内参照

$2025$年一橋大学文系過去問題