問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$
空間の2点OとAは$|\overrightarrow{ OA }|=2$を満たすとし、点Aを通り$\overrightarrow{ OA }$に直交する平面をHとする。
平面H上の三角形ABCは、正の実数aに対し
$|\overrightarrow{ AB }|=2a,　|\overrightarrow{ AC }|=3a,　\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=2a^2$
を満たすとする。ただし、$\overrightarrow{ u }・\overrightarrow{ v }$はベクトル$\overrightarrow{ u }$と$\overrightarrow{ v }$の内積を表す。
(1)$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }$の値を求めよ。
さらに、線分ABの平面H上にある垂直二等分線をl、線分ACを2:1に内分する点を
通り、線分ACに直交するH上の直線をmとする。また、lとmの交点をPとする。
(2)ベクトル$\overrightarrow{ OP }$を、実数$\alpha,\beta,\gamma$を用いて
$\overrightarrow{ OP }=\alpha\overrightarrow{ OA }+\beta\overrightarrow{ OB }+\gamma\overrightarrow{ OC }$と表すとき、
$\alpha,\beta,\gamma$の値をそれぞれ求めよ。
(3)空間の点Qは$2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ 0 }$を満たすとする。直線PQが、
点Oを中心とする半径2の球Sに接しているとき、$|\overrightarrow{ AP }|$の値および$a$の値を求めよ。
さらに、直線l上の点Rを、直線QRがSに接し、Pとは異なる点とする。このとき、
$\triangle APR$の面積を求めよ。

2021慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\vec{a}=(4, 2), \vec{b}=(3, -1), \vec{x}=(p, q)$とする。
$\vec{x}$と$\vec{b}-\vec{a}$は平行で, $\vec{x}-\vec{b}$と$\vec{a}$は垂直であるとき,
pとqの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
【2】(1) $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ とする。連立方程式$$\begin{cases} \cos x + \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x + \cos y = \frac{\sqrt{6}}{2} \end{cases}$$の解 $x, y$ について，$\sin(x+y) = \text{ア}$, $x = \text{イ}\pi$, $y = \text{ウ}\pi$ である。(2) 平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $\vert{}\vec{a} - 2\vec{b}\vert{} = 1$ と $\vert{}-2\vec{a} + 7\vec{b}\vert{} = 1$ を満たすとする。このとき，$\vert{}\vec{a} + \vec{b}\vert{}$ の最大値は エ，最小値は オ である。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

空間の点$(0,0,1)$を通り

$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする

直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を

方向ベクトルとする直線を$m$とする。

(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。

また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。

このとき$P$と$Q$の座標、

および線分$PQ$の長さを求めよ。

(2)$\ell$上に$2$点

$A=(t,-t,1),$

$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$

があり、$m$上に$2$点

$C=(1,t,3,-2t),$

$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$

があるとする。ただし、$y$は実数とする。

四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。

$V(0)$を求めよ。

(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、

$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$\triangle OAB$ に対して、点 $P$ が次の条件を満たしながら動くとき、点 $P$ の存在範囲を図示せよ。

(1) $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$、$s+t=4$、$s\geqq0$、$t\geqq0$

(2) $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$、$0\leqq s+t\leqq4$、$s\geqq0$、$t\geqq0$