問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$

$n$を$2$以上の自然数とする。次の問いに答えよ。

(1)$n^3-n$は$6$のばいすうであることを示せ。

(2)$n^4+2n^3-n^2-2n$は$24$の倍数であることを示せ。

(3)$n$に関する数学的帰納法を用いて、

$n^5+4n$は$5$の倍数であることを示せ。

(4)$n^9+2n^8-n^7-2n^6+4n^5+8n^4-4n^3-8n^2$は

$120$の倍数であることを示せ。

$2025$年立教大学理学部過去問題

問題文全文(内容文)：
77+78+79+・・・+99

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
数列$\left\{a_n\right\}$は、初項$a_1$が$0$であり、$n=1,2,3,\cdots$のとき次の漸化式を
満たすものとする。
$a_{n+1}=$$\displaystyle \frac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-$$(n+1)(n+2)\}$　$\cdots$①

(1)$a_2=\boxed{\ \ ア\ \ }$　である。

(2)$b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$とおき、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよう。
$\left\{b_n\right\}$の初項$b_1$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。①の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で
割ると
$b_{n+1}=b_n$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\left(n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ オ\ \ }\right)}$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$

を得る。ただし、$\boxed{\ \ エ\ \ } \lt \boxed{\ \ オ\ \ }$とする。

したがって

$b_{n+1}-b_n=$$\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$
である。

$n$を2以上の自然数とするとき

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\left(\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ケ\ \ }}{n+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{k+1}=$$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が成り立つことを利用すると

$b_n=\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }\left(n+\boxed{\ \ チ\ \ }\right)}$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が得られる。これは$n=1$のときも成り立つ。

(3)(2)により、$\left\{a_n\right\}$の一般項は
$a_n=\boxed{\ \ ツ\ \ }^{n-\boxed{テ}}\left(n^2-\boxed{\ \ ト\ \ }\right)+$$\displaystyle \frac{\left(n+\boxed{\ \ ナ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ ニ\ \ }\right)}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$

で与えられる。ただし、$\boxed{\ \ ナ\ \ } \lt \boxed{\ \ ニ\ \ }$とする。
このことから、すべての自然数$n$について、
$a_n$は整数となることが分かる。

(4)$k$を自然数とする。$a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$で割った余りはそれぞれ
$\boxed{\ \ ネ\ \ },$　$\boxed{\ \ ノ\ \ },$　$\boxed{\ \ ハ\ \ }$である。また、$\left\{a_n\right\}$の初項から
第2020項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
次の漸化式 $(\mathrm{A})$ を満たす数列 $\{ a_n\}$ を考える。
$(\mathrm{A}):$$a_{n+2}=na_{n+1}-a_n$$ \quad (n=1.2.3.\cdots)$
(1) $(\mathrm{A})$ を満たす数列を $1$つあげよ。
(2) $2$ つの数列 $\{ a_n\}$ と $\{ b_n\}$ が $(\mathrm{A})$ を満たすとする。どんな実数 $x,y$ に対しても数列 $\{ xa_n + yb_n \}$ が $(\mathrm{A})$ を満たすことを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列 ${a_n}$ を考える。
$a_1=2, \, a_{n+1}=a_n^2+a_n+1$
$(1)$ $a_n-2$ は $5$ で割り切れることを証明せよ。
$(2)$ $a_n^2+1$ は $5^n$ で割り切れることを証明せよ。